Главная Статьи Идеи и Инструменты Премия опциона без тайн
Премия опциона без тайн
11.10.2010 10:23

Многих отпугивает от торговли опционами непонятное ценообразование этих производных инструментов. Во-первых, сама знаменитая формула Блэка-Шоулза кажется непостижимо сложной, во-вторых, тот факт, что размер премии не зависит от тренда по базовому активу, кажется нелогичным и противоречащим интуиции. Справедливости ради следует отметить, что для спекуляции опционами не требуется детального понимания всех математических тонкостей его ценообразования. Тем не менее, знание основных принципов не помешает как для «общего развития», так и для практики торговли, а если же вы планируете использовать арбитражные стратегии с опционами, то эта информация вообще из разряда must know.


Далее в тексте под опционом для простоты всегда будем подразумевать ванильный колл «у денег» (страйк равен текущей цене) на обыкновенную акцию. В случае роста прибыль по такому опциону в момент истечения контракта равна разнице цен акции за вычетом премии уплаченной за опцион. Например, если акция при покупке опциона стоила 100 рублей, к моменту истечения поднялась до 150р., и премия опциона равна 10р., прибыль составит: 150р. - 100 - 10р. = 40р. Предполагается также, что возможна покупка любого количества акций, а не только стандартных лотов.


Позиция здравого смысла

С точки зрения здравого смысла понятно, что «справедливая цена» опциона не должна давать систематического преимущества ни покупателю, ни продавцу. Однако прибыли и убытки продавца и покупателя опциона несимметричны. Прибыль покупателя неограниченна, поскольку нет теоретического предела для роста акции. По этой же причине убыток продавца потенциально не имеет предела. Прибыль же продавца наоборот ограничивается размером полученной премии. Она же является максимально возможным убытком для покупателя. Отсюда становится ясным, что размер премии «по идее» должен равняться среднему убытку продавца. В таком случае она в среднем будет компенсировать возможные убытки, хоть они и будут принимать разные значения в каждом конкретном случае. В достаточно длительной серии сделок ни покупатель, ни продавец не будут иметь преимущества друг перед другом.


Как же определить средний размер прибыли/убытка? Для этого надо знать вероятности того или иного ценового движения. Нужно каждому возможному будущему значению цены приписать определенную вероятность. Множество всех таких вероятностей цены называется вероятностной мерой. У каждого участника рынка есть какие-то ожидания в отношении будущих вариантов развития событий: ралли, обвала, боковика и т.п. Один трейдер предполагает бычий тренд, другой в надежде на медвежий, зашортил акцию… Получается, что у каждого человека имеется собственная субъективная оценка будущего состояния рынка, собственная «вероятностная мера». Продавец опциона с бычьим настроем будет просить повышенную премию, поскольку полагает, что рынок растет, допустим, на 50% в год, а значит, его средний убыток будет выше, чем при боковике или медвежьем тренде. Покупатель опциона может иметь более умеренные взгляды. Предположим, он предполагает только 25% рост, тогда он не согласится с ценой продавца, поскольку с его точки зрения она будет завышенной, и в среднем он будет нести убыток. Таким образом, вроде бы, интуитивно понятная проблема определения справедливой цены оказывается запутанной в субъективизме мнений продавцов и покупателей… Но, оказывается, не все так печально, и можно подобрать такую вероятностную меру, которая в определенном смысле устраивала бы всех.


How much is the hedge?

Понять принципы ценообразования опциона проще с позиции продавца, а не покупателя. Очень часто опционы являются внебиржевыми инструментами. Особенно это характерно для экзотических видов контрактов. Опционный дилер является маркет-мейкером, и как все приличные маркет-мейкеры зарабатывает, прежде всего, на спреде. Кроме того, опционные маркет-мейкеры могут встречаться не только на OTC, но и на самих биржах. Дилера, в общем-то, не интересуют возможные направления трендов – это не его бизнес. Зато он кровно заинтересован в хеджировании – страховании своих рисков. Продавая опцион, он рискует при росте акции. Как устранить этот риск?


Легче всего разобраться в схеме хеджирования при помощи следующей экстремально упрощенной модели: торговля возможна только в начале года, когда заключаются сделки, и в конце, когда происходит исполнение контрактов и расчеты. Предположим, в начале года акция стоит 1 рубль, а в конце года цена может принимать только два значения: 1.30р. или 0.80р., тогда стандартный лот из 100 акций будет стоить или 130р. или 80р. Это можно понимать как средний рост на 5% годовых, с волатильностью в 25%. Дилер продает опцион на 100 акций и ему нужно построить такой хедж, чтобы при любом сценарии исключить убыток. Можно показать, что для этого ему надо купить некоторое количество акций – Δ. Это и есть знаменитая «дельта» – важнейшая греческая буква опциона. Это можно сформулировать в виде простого уравнения:


Δ130 - 30 = Δ80


130 – это стоимость лота акций при росте, 80 – при падении. В случае роста дилер потеряет 30 рублей, которые ему придется выплатить покупателю опциона, таким образом, Δ130 - 30 – это стоимость его позиции при сценарии А. При сценарии Б у него на руках окажутся только акции на сумму Δ80 (поскольку акции упали, покупателю опциона не нужно ничего платить). Найдем значение дельты, решив уравнение:


1. Δ130 - Δ80 = 30

2. Δ50 = 30

3. Δ = 30/50 = 0.6


Значит, дилер должен купить 0.6*100 = 60 акций на сумму 60 рублей. Убедимся, что все ОК, подсчитав стоимость его позиции при обоих сценариях. При сценарии А цена акции растет до 1.30 рублей, 60 акций купленных дилером будут стоить 1.30р.*60 = 78р. Кроме того, при этом сценарии он должен уплатить 30 рублей покупателю опциона. Общая стоимость его позиции составит: 78р. - 30р. = 48р. При сценарии Б цена акции падает до 0.80 рублей, 60 акций купленных дилером будут стоить 0.80р.*60 = 48р. При дельте равной 0.6, таким образом, при любом сценарии стоимость позиции равна 48р. Значит риск неблагоприятного ценового движения полностью исключен! Как же теперь рассчитать премию опциона? Очень просто. Для создания хеджа дилер потратил 60 рублей на покупку акций, и в конечном итоге они при любом сценарии превращаются в 48р. Значит, он должен потребовать с покупателя этот недостаток в виде премии в размере 60р. - 48р. = 12р. Тогда его портфель из проданного опциона и купленной для хеджирования акции всегда будет стоить 60 рублей, как и в начале. Следовательно, премия опциона определяется стоимостью его хеджирования.


Риск-нейтральный подход

Примечательно, что премия не зависит от вероятностей движения цены. В данном примере безразлично будет расти стоимость лота до 130 рублей с вероятностью 50% или 90%. В любом случае при правильном подборе дельты риск будет полностью исключен. Получается, что реальные вероятности роста и падения, т.е. реальный тренд, не имеют значения для определения цены опциона. Важен только возможный диапазон ценовых колебаний, т.е. предполагаемая волатильность. Интересно, что кроме продемонстрированного метода нахождения цены опциона при помощи хеджирования, есть и другой метод, полностью ему идентичный, дающий точно такой же ответ на этот вопрос. В приведенном примере предполагалось, что стоимость лота растет на 5%, поскольку средняя его стоимость в конце года: (130р. + 80р.)/2 = 210р./2 = 105р. Это соответствует положительному тренду по акции. Этот тренд можно устранить, надлежащим образом подобрав вероятности движения вверх и вниз. Такие вероятности называются «риск-нейтральными». Можно показать, что при вероятности роста 40%, а падения 60%, средняя стоимость лота так и останется 100 рублей: 130р.*0.4 + 80р.*0.6 = 100р. Мы подобрали такую вероятностную меру, при которой тренд по акции отсутствует. Оказывается, что, пользуясь этой мерой, цену опциона можно вычислить как интуитивно понятную среднюю прибыль/убыток покупателя/продавца. При росте лота до 130р. покупатель опциона имеет прибыль 30р. Мы подобрали вероятность для роста 40%, значит, средняя прибыль покупателя (и убыток продавца) составит: 30р.*0.4 = 12р. Эта цифра совпадает с опционной премией полученной при помощи метода хеджирования.


Таким образом, справедливая цена опциона определяется как средняя прибыль его покупателя при нейтральном варианте нулевого роста цены акции. Это представляется очень логичным и соответствует доводам здравого смысла. Продавец и покупатель оставляют свои субъективные взгляды относительно роста и падения при себе и выбирают компромиссный вариант бокового тренда, как устраивающий обе стороны. Поэтому и получается, что тренд не играет роли при выработке цены опциона. Продавец и покупатель должны лишь придти к согласию относительно предполагаемой волатильности акции, а это значительно более устойчивая характеристика, чем средняя доходность акции. Кроме того, установленная таким способом цена опциона будет полностью совпадать со стоимостью его хеджирования для дилера. Следовательно, данный метод установления цены подходит как для биржевых опционов (разумный компромисс между продавцом и покупателем), так и для внебиржевых (полное исключение риска для дилера).


Отсутствие арбитража

Цена опциона зависит не только от волатильности, но и от уровня процентных ставок. Это находит свое выражение в понятии «безрисковая ставка». Безрисковая ставка – это абстракция, используемая участниками рынка, при установлении справедливой цены опциона. Это некоторая усредненная процентная ставка, под которую можно размещать деньги без риска и брать взаймы. Обычно для ее оценки берутся ставки по государственным ценным бумагам, ставки типа LIBOR или доходность по корпоративным облигациям с рейтингом ААА. Чтобы приблизить вышеприведенный пример к реальной жизни, добавим в модель безрисковую ставку. Предположим, что дилер и трейдеры могут получать на свои деньги 2% годовых. Этот факт непременно окажет влияние на величину опционной премии – она обязательно вырастет. В нашем примере дилеру удалось эффективно захеджировать опционную позицию при помощи покупки надлежащего количества акций. Для этого он потратил 48р. собственных денег (и 12р. полученных за опцион). Спустя год при любом сценарии он сохраняет эти 48р. Риск полностью отсутствует. Однако поскольку дилер зарабатывает только на спреде, справедливо будет, чтобы вложенные им деньги для страховки опционной позиции росли со скоростью безрисковой ставки – 2% годовых. Это значит, что нужно добавить к стоимости опциона упущенный интерес, дисконтировав будущую стоимость портфеля: 48р. - 48р./(1+2%/100) = 48р. - 47.06р. = 0.94р. Таким образом, с учетом безрисковой ставки премия опциона составит уже 12.94 рубля.


Это можно понять и другими способами. Например, если у дилера нет собственных средств на покупку акции для страховки опционной позиции, он будет брать их взаймы под безрисковую ставку, значит, стоимость хеджирования вырастет, и он включит плату за кредит в цену опциона. Есть и еще один аргумент. Если премия опциона будет ниже 12.94 рубля, обязательно найдется предприимчивый трейдер, который зашортит акции, деньги, полученные от короткой продажи, положит в банк под процент, а для страховки короткой позиции по акции купит опцион. В итоге он получит безрисковую прибыль, не вкладывая ни копейки собственных средств! Естественно, найдутся и другие желающие заняться арбитражем. В результате спрос на опционы резко возрастет, и дилер, реагируя на это, повысит цену, устраняя таким образом возможность арбитража. Если же цена опциона будет выше 12.94р., возникает другая арбитражная комбинация: покупка акции в кредит с одновременной продажей опциона. Повышенная премия опциона позволит отбить кредит и получить безрисковую прибыль.


Описанный выше риск-нейтральный подход также остается в силе. Только теперь предполагается, что цена акции в среднем растет со скоростью банковского счета, 2% годовых в нашем примере. С этой точки зрения получается безразлично, инвестировать ли деньги в депозит или в акцию, поэтому данный подход и получил такое имя. На самом деле инвесторам далеко небезразличен этот выбор. Риск-нейтральный подход – просто удобная математическая абстракция, оправданная лишь тем, что она дает точно такой же результат, что и метод хеджирования, но с меньшими затратами на вычисления.


С небес на землю

Все это замечательно, но какое отношение это имеет к реальному рынку? – скажет пытливый читатель, – цены на котором меняются, чуть ли не ежесекундно, а не раз в год как в нашей модели. Ничто не мешает, однако, добавить промежуточные состояния. Например, так: лот акций на открытии стоит 100р., через полгода цена или растет до 115р. или падает до 90р. Далее эти сценарии еще раз разветвляются, и к концу года цена может иметь три значения: 130, 100, и 80р. Визуально это очень похоже на дерево. И действительно этот метод так и называется метод биноминальных (поскольку каждая «веточка» раздваивается) деревьев.


Цена опциона. Метод биноминальных деревьев


Теперь можно получить еще более точную оценку премии опциона. Используется тот же принцип, что и в одношаговой модели. Сначала находится цена опциона за шаг до истечения, потом хеджируется это промежуточное состояние и т.д. Можно еще больше увеличить количество шагов, например, до 250, тогда рынок будет функционировать уже раз в рабочий день и т.д. Теоретически можно ветвить дерево до бесконечности. Математически было доказано, что в таком случае как раз и возникает знаменитая формула Блэка-Шоулза. Она позволяет вычислить цену опциона в любой момент времени. Смысл премии остается таким же, как и в одношаговой модели – это стоимость непрерывного (на практике очень частого, например, раз в день) хеджирования опционной позиции или же средний размер прибыли покупателя в предположении, что акция растет со скоростью банковского счета. Как видно, из рисунка возможность более частого хеджирования снижает первоначальную стоимость опциона.


Формула Блэка-Шоулза не такая уж и сложная, как кажется на первый взгляд. Она исходит из простейших предположений, что разброс цены зависит только от одного параметра – волатильности. На самом деле это не так. Реальные рынки сложнее, но попытка учета дополнительных параметров приводит к еще более громоздким формулам или вообще вынуждает отказаться от интуитивно понятной и легко измеримой по истории котировок волатильности. Фактически для такого сложного дела как оценка опциона формула Блэка-Шоулза дает очень простое и элегантное решение. Именно поэтому она получила такую популярность, а авторам принесла нобелевскую премию. В конце концов, вам не требуется досконального понимания этой формулы. Для расчетов можно использовать специальный опционный калькулятор. Главное в общих чертах понимать, откуда «растут ее ноги» и как на цену опциона влияют основные параметры: волатильность, ставка, страйк и т.д.



© q-trader

[обсудить на форуме]


 

Комментарии  

 
0 # Руслан 30.05.2016 12:28
не уверен в отсутствии арбитража при данной схеме вычисления стоимости опциона: например, продаем стреддл на деньгах - покупаем АТМ стренгл; продажа спреда в данном случае выгоднее покупки, т.к. в самом плохом сценарии мы ничего не заработаем, но и ничего не потеряем, а в лучшем, если цена останется на месте - получаем премию равную разнице между двумя ближайшими страйками. Соответственно покупка, убыточна от максимума, равного разнице между двумя страйками до нуля если цена БА выйдет за страйк любого из крыльев стренгла. Арбитраж "на лицо")))
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # q-trader 04.06.2016 19:07
В рамках БШ арбитраж не возможен. Безрисковые прибыльные комбинации существуют, но их доходность ниже безрисковой ставки, поэтому они не могут считаться арбитражными в полноценном смысле.

Вот пример такой штуки
http://smart-lab.ru/blog/111667.php
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить



© 2010–2012. Все права защищены.
Копирование материалов, размещенных на сайте, разрешается только с рабочей ссылкой на источник.



| О проекте |  Правовая информация |
|  Напишите нам |  Карта сайта |



  

 Новости
главные новости экономики и финансовых рынков: события, мнения, прогнозы.

 Статьи
материалы по теханализу, фундаментальному анализу, управлению капиталом (манименеджмент) и др.

 Рынки
фондовый, валютный, товарный рынки: исторические обзоры, динамика, доходность, корреляции.

 Калькуляторы
xls-калькуляторы для оптимизации размера и структуры торговой позиции; опционные калькуляторы.

 Софт
торговые терминалы, программы для теханализа, оптимизации систем и др.: статьи, обзоры, видеоуроки.

 Архив котировок
индексы, валюты, сырье: многолетние истории котировок в форматах .xls и .txt.

 Индикаторы
ºSiX – индикатор настроения рынка на основе расчета соотношения количества опционных контрактов put и call.

 Библиотека
собрание книг, которые рекомендуется прочесть каждому трейдеру в первую очередь.

 Словарь
толкование основных экономических, финансовых терминов, трейдерский сленг.

 Форум
обсуждение материалов сайта и любых вопросов трейдинга и инвестирования.