Инвесторам, использующим критерий Келли для оптимизации своих торговых стратегий, хорошо известна разница между средней арифметической и средней геометрической доходностью. В этой небольшой заметке я расскажу об одном небольшом парадоксе, проистекающем из этого различия.

Для начала напомню, что средняя геометрическая доходность выражается через среднюю арифметическую следующим образом:

g = μ - ½σ²,

где g - средняя геометрическая доходность (рост), μ - средняя арифметическая доходность, σ - волатильность доходности.

Формула тем точнее, чем короче временной горизонт. Так или иначе, основной момент схватывается абсолютно верно - высокая волатильность негативно сказывается на росте цены актива или капитала на брокерском депозите.

Из формулы видно, что для роста не достаточно положительности арифметической доходности. Достаточно высокая волатильность способна обнулить рост и даже сделать его отрицательным. А при нулевой μ возникает интересный случай. Чтобы было нагляднее, приведу пример с конкретными цифрами.

Представим некоторую акцию с μ = 0 и σ = 0.5, т.е. с нулевым ростом и волатильностью 50% годовых. Согласно формуле g = -0.125. Это означает, что в среднем бумага в год теряет 12.5% своей цены. По критерию Келли оптимальный вес актива в портфеле вычисляется:

w = μ/σ² .

Это означает, что при нулевой арифметической доходности оптимально не открывать никаких позиций: ни длинных, ни коротких. Так как из этой ситуации невозможно извлечь систематической прибыли. Однако реально бумага падает в цене, и падает весьма существенно. Почему бы тогда не открыть короткую позицию?

Вопрос здесь в том, реинвестировать или не реинвестировать. Критерий Келли подразумевает реинвестирование и достаточно долгий инвестиционный горизонт. Это означает, что короткую позицию надо наращивать/сокращать пропорционально падению/росту цены. Однако при нулевой арифметической доходности актива не существует такого целевого уровня для веса бумаги в портфеле, при котором стратегия реинвестирования давала бы рост. Справедливость этого можно проверить в том числе в вычислительном эксперименте при помощи компьютерной симуляции.

Если же открыть короткую позицию и ничего больше не делать, то в долгосрочной перспективе средняя геометрическая доходность такой стратегии будет стремиться к нулю. Механика здесь такая. Максимальный рост капитала от короткой позиции не может превысить 100%, поскольку цена не может опуститься ниже нуля. Математически скорость роста проще изучать в логарифмах, при помощи преобразования ln(1 + r), где r - доходность. Тогда имеем предел для роста ln(2). Логарифмическая доходность за единицу времени получается ln(2)/T. Устремляя T к бесконечности, получаем величину стремящуюся к нулю. А если логарифм мал, мала и исходная величина. Грубо это означает, что за 10 лет и 100% - не рост, не говоря уже о более долгих горизонтах.

Таким образом, никаких противоречий в том, что падающий актив может быть бесперспективен даже для короткой продажи нет, если речь идет о долгосрочном горизонте. В пределах же нескольких месяцев реинвестирование не играет заметной роли, поэтому можно пробовать дискреционно играть в короткую независимо от значений арифметической доходности, если ожидаемая прибыльность достаточно привлекательна.