Недавно пришла в голову мысль, что при оптимизации портфеля можно использовать энтропийный критерий. Потенциально это интересная идея, поскольку позволяет решить ряд трудностей возникающих на практике при бездумном использовании «оптимизаторов». Чтобы она не канула в Лету, решил зафиксировать ее в этом блоге.

Понятие энтропии зародилось в термодинамике, потом оказалось востребованным в теории информации, а в этом качестве его уже можно применять и в финансовых приложениях. Вычислить энтропию довольно просто. Для этого надо только лишь знать набор вероятностей каких-либо событий, вроде выпадения «орла» или грани на костях. Каждая вероятность умножается на ее логарифм, потом все это суммируется и берется со знаком минус. Если полученную величину разделить на ln(N), где N – количество событий, получим т.н. нормированную энтропию. Эта величина всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Попросту говоря, энтропия – это мера неопределенности какой-либо ситуации, игры, системы. Напр., интуитивно ясно, что «честная» монета, вероятность О и Р у которой 50/50, дает максимум неопределенности (нормированная энтропия равна 1), а бросание монеты, у которой всегда выпадает одна сторона, вообще не порождает неопределенности (нулевая энтропия). Энтропия выражает эти факты на языке цифр.

Как все это можно использовать при оптимизации портфеля? Веса портфеля можно рассматривать как некие вероятности – благо они суммируются до единицы. Более того, веса имеют самую непосредственную связь с количеством имеющейся информации. Так, если нам вообще ничего неизвестно о динамике активов, но вложиться надо или хочется, логично распределить средства поровну между ними. В этом случае формула энтропии, примененная к весам, даст максимум – единицу. Если же мы считаем, что какой-то актив во всех отношениях лучше других, и инвестируем все деньги только в него, энтропия будет, выражая нашу уверенность, равна нулю.

Что ж, веса можно интерпретировать как вероятности, но все-таки, зачем нам энтропия при оптимизации? Дело в том, что математическая оптимизация структуры портфеля, опирающаяся на исторические котировки, склонна к разного рода перекосам: некоторые активы обнуляются, в другие наоборот оказывается вложено очень много средств и т.п. Такой портфель, оптимальный на прошлых данных, с высокой долей вероятности окажется плохим на будущих котировках, а значит, и при реальной торговле. Эта крайность предполагает полное доверие к прошлым данным, «переподгонку». Другим полюсом является полное игнорирование истории – это описанный выше портфель с равномерными весами. Чувствуется, что истина лежит где-то посередине, и энтропия здесь способна помочь в ее поиске!

Если в процедуру оптимизации заложить ограничения на энтропию весов, можно избежать создания чересчур концентрированных портфелей. Примерный план действий тут таков:

1. Оптимизируем портфель стандартным образом.

2. Вычисляем энтропию весов.

3. Если энтропия слишком низка, напр., < 0.5, задаем это ограничение при повторной оптимизации.

В итоге можно получить портфель, учитывающий прошлую информацию, и при этом без сильных перекосов в структуре весов.

Интересно также было бы провести историческое исследование эффективности портфелей с различным уровнем энтропии на новых данных. Возможно, удалось бы выявить некоторый оптимальный уровень энтропии.

Реально ли использовать подобный подход для индивидуального инвестора? Ответ положительный, но, естественно, требуется специальный софт. На мой взгляд, лучше всего для таких целей подходит MATLAB. Optimization Toolbox содержит полный набор функций необходимых для реализации процедуры оптимизации с возможностью задания различных ограничений. У меня нет специального образования в области математики и программирования, но благодаря собственному энтузиазму мне удалось разобраться в матлабовских функциях. Так что реально все – было бы желание и время.