Стохастическая модель ценовой динамики - это, конечно, хорошо, но как к ней "прикрутить" торговую стратегию? Рассмотрим на примере обобщенного процесса Блэка-Шоулза как от стохастического дифференциального уравнения ценового процесса перейти к СДУ соответствующего портфельного процесса.

Как известно, уравнение ОПБШ представляет собой следующее выражение:

dP_t = (μ - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t))P_tdt + σP_tdW_t.

Обозначим через Q_t количество акций в портфеле в момент времени t. Тогда изменение стоимости портфеля в части рискового актива в это же мгновение будет dK_t^S = dP_tQ_t. Уравнение для dP_t известно, значит, нужно просто умножить его на Q_t:

dK_t^S = (μ - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t))P_tQ_tdt + σP_tQ_tdW_t.

P_tQ_t = А_t - стоимость активов в текущее мгновение. Получается, что динамика портфеля определяется динамикой стоимости его активов, что логично. Какую стоимость активов желает иметь инвестор? Обычно она определяется как доля (L_t) от собственных средств (капитала). Значит, Q_t = L_tK_t/P_t. Тогда, после сокращения P_t остается:

dK_t^S = (μ - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t))L_tK_tdt + σL_tK_tdW_t.

Таким образом, единственным параметром определяющим динамику капитала торговой стратегии является текущая доля L_t собственных средств в рисковом активе.

Поскольку сумма весов портфеля по определению равна единице, доля средств вложенных в безрисковый актив (наличные, гособлигации и т.п.) равна 1 - L_t. При этом в классическом подходе предполагается, что динамика цены fixed income актива подчиняется следующему закону:

dP_t/P_t = rdt.

Это частный случай ОБПШ с γ = 0, σ = 0 и μ = r - безрисковой ставке.

Значит, динамика капитала в безрисковой облигации определяется уравнением:

dK_t^B/K_t = r(1 - L_t)dt = rdt - rL_tdt.

Следовательно, весь портфель dK_t = dK_t^S + dK_t^B изменяется:

dK_t/K_t = (r + (μ - r - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t))L_t)dt + σL_tdW_t.

Здесь под P_t подразумевается цена "акции" (рискового актива), чтобы не писать P_t^S.

Отметим, что фактор L_t (внутренние скобки) применяется к избыточной доходности акции, т.е. средней арифметической доходности сверх безрисковой ставки r. Если ввести обозначение μ_t = (μ - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t)), то более компактно это запишется так:

dK_t/K_t = (r + (μ_t - r)L_t)dt + σL_tdW_t.

Избыточная доходность, таким образом, учитывает стоимость фондирования открытой позиции.

В данной методологии любая торговая стратегия полностью определяется функцией Q_t или эквивалентной ей L_t. В большинстве случаев задание стратегии через рычаг L_t удобнее, чем ее описание через количество бумаг Q_t, поскольку L_t-представление инвариантно к уровням цен и размерам лотов и варьируется в основном под воздействием изменений в профиле доходности/риска инвестора.

Какие именно значения следует выбирать для L_t в каждый момент t зависит от многих соображений. Наиболее важные из них: текущая оценка доходности и волатильности, актуальные предпочтения по вознаграждению и риску, величина транзакционных издержек (комиссий, спредов и т.п.). К примеру, ожидаемая доходность может вырасти, а ожидаемая волатильность упасть, под воздействием новой информации и уточненных прогнозов, что будет мотивировать к увеличению доли L_t в рисковом активе. Однако эти доводы может свести на нет возросшее отвращение инвестора к риску, связанное, например, с текущей жизненной ситуацией. Могут в добавок вырасти и транзакционные издержки или процентная ставка r. В итоге, не смотря на рост отношения доходность/волатильность, L_t сократится.

В общем случае L_t представляет собой вектор долей капитала в N рисковых активах. Это никак не влияет на расчет доходности портфеля - она так и остается простой взвешенной суммой индивидуальных компонентов, но сильно меняет дело для общей волатильности стратегии. Подробнее об этом поговорим в другой раз