В заметке под названием "Стохастический процесс, примиряющий инвесторов и спекулянтов" я набросал основные контуры подобной модели рынка. Пришло время зафиксировать точные формулировки.

Прежде всего, хочу предупредить, что дальше будет довольно много выкладок. Лично сам я не любитель математики ради математики, но поскольку в готовом виде найти интересующие меня формулы не удалось, я счел необходимым записать все выводы.

Напомню, что идея заключается в обобщении процесса Блэка-Шоулза (геометрического броуновского движения) на случай возврата к среднему. Такая модель делает осмысленными не только долгосрочные инвестиции в рамках основной тенденции, но и краткосрочные спекуляции, облекая интуитивные понятия "перекупленности" и "перепроданности" в строгую математическую форму.

В академической литературе мне удалось найти модель в дифференциальной форме для логарифма цены:

dlnP_t = (μ - γ(lnP_t - lnP - μt))dt + σdW_t [1],

где μ - средняя логарифмическая доходность (тенденция), γ > 0 - коэффициент реверсии, σ > 0 - волатильность (коэффициент диффузии), P - положение тренда в начальный момент времени t = 0.

Данное СДУ можно переписать для динамики отклонений от тренда lnP_t - lnP - μt, воспользовавшись тем, что:

d(lnP_t - lnP - μt) = lnP_t + dlnP_t - lnP - μ(t + dt) - (lnP_t - lnP - μt) =

lnP_t + dlnP_t - lnP - μt - μdt - lnP_t + lnP + μt = dlnP_t - μdt.

Это означает, что для получения уравнения динамики отклонений достаточно из исходного СДУ отнять мгновенную доходность μdt:

d(lnP_t - lnP - μt) = -γ(lnP_t - lnP - μt)dt + σdW_t.

Отклонение от тренда можно рассматривать в качестве единой переменной. Тогда получается, что эта величина следует обычному процессу Орнштейна-Уленбека, решение которого хорошо известно:

lnP_T - lnP - μT = (lnP₀ - lnP)exp(-γT) + N(½σ²(1 - exp(-2γT))/γ),

где N - нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и дисперсией указанной в скобках.

Перенеся тренд вправо, получаем итоговую форму:

lnP_T = lnP +μT + (lnP₀ - lnP)exp(-γT) + N(½σ²(1 - exp(-2γT))/γ) [2].

Модель в такой записи остается корректной и при отсутствии реверсии, поскольку ½σ²(1 - exp(-2γT))/γ → σ²T при γ → 0, как и должно быть для обычного броуновского движения.

Теперь остается только перейти от логарифмических доходностей - dlnP_t к линейным - dP_t/P_t. Согласно правилу Ито, для этого достаточно к исходному СДУ в логарифмах прибавить половину дисперсии: dP_t/P_t = dlnP_t + ½σ²dt. В итоге получается:

dP_t/P_t = (μ + ½σ² - γ(lnP_t - lnP - μt))dt + σdW_t.

В данном уравнении μ - средняя логарифмическая доходность. Однако в "каноническом" виде процесс Блэка-Шоулза записывается через среднюю арифметическую доходность μ + ½σ². Обозначив ее также через μ, приходим к следующему СДУ:

dP_t/P_t = (μ - γ(lnP_t - lnP - (μ - ½σ²)t))dt + σdW_t.

С учетом свойств логарифмов его можно окончательно переписать:

dP_t/P_t = (μ - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t))dt + σdW_t [3].

Решением этого уравнения будет просто экспонента интегральной формы для логарифма от dP_t, который согласно Ито:

dlnP_t = (μ - ½σ² - γ(ln(P_t/P) - (μ - ½σ²)t))dt + σdW_t.

Разница с самым первым СДУ тут только в том что не μ, а μ - ½σ² определяет тенденцию. Значит, его можно решать как [1], только с μ - ½σ² вместо μ, и после ряда операций получается:

P_T = Pexp((μ - ½σ²)T + N(½σ²(1 - exp(-2γT))/γ))(P₀/P)^exp(-γT) [4].

Таким образом, уравнения [3] и [4] дают закон динамики ОПБШ в дифференциальной и интегральной формах, т.е. модели для доходности и цены. В зависимости от обстоятельств бывает удобно использовать то или иное представление для каких-либо активов.