Стохастические процессы - мощный инструмент моделирования ценовой динамики. Однако полноценное овладение ими невозможно без знания некоторых математических приемов. Пожалуй, важнейший из них - правило Ито. О нем далее и пойдет речь.

Правило Ито, так же известное как лемма Ито, названо в честь японского математика, из работ которого оно получило признание в академических кругах. Напомню, что стохастический процесс представляет собой уравнение следующего вида:

dP_t = μ(t, P_t)dt + σ(t, P_t)dW_t,

где интеграл первого слагаемого по dt определяет тенденцию ценовой динамики, а интеграл второго по dW_t - статистический разброс относительно этой тенденции (волатильность).

Математические выражения подобного рода называют стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ).

На практике довольно часто встречается ситуация, когда интерес представляет некоторая функция времени и цены F(t, P_t). Ею может быть стоимость некоторого производного инструмента (V_t), например, опциона или какой-нибудь технический индикатор и т.д. Другой распространенный случай, когда в академической литературе встречается модель перспективная для практики, но неадаптированная для использования на ценах - допускающая отрицательные значения P_t. Вот тут-то на помощь и приходит правило Ито.

Правило Ито позволяет вычислять СДУ для функции от цены и времени. Например, имеется некоторая модель ценовой динамики для dP_t вроде геометрического броуновского движения и имеется определенная опционная "формула" типа Блэка-Шоулза. Пользуясь правилом Ито, можно найти модель динамики для производного инструмента в форме dV_t.

Правило Ито можно записать в следующем виде:

dF_t = (∂F/∂t + μ_t∂F/∂P_t + ½σ_t²∂²F/∂P_t²)dt + σ_t∂F/∂P_tdW_t

или с меньшим уровнем детализации, отбросив и так очевидную зависимость от t:

dF = (∂F/∂t + μ∂F/∂P + ½σ²∂²F/∂P²)dt + σ∂F/∂PdW.

Символ ∂ означает частную производную.

На первый взгляд это может показаться полной абракадаброй. Однако все не так уж сложно. Первое слагаемое - это производная по времени (∂F/∂t), второе содержит производную по цене (∂F/∂P), третье - вторую производную по цене (∂²F/∂P²). В последнем слагаемом также содержится производная по цене.

Чтобы стало понятнее, возьмем конкретный пример. Допустим, динамика цены описывается геометрическим броуновским движением в виде следующего СДУ:

dP_t = μP_tdt + σP_tdW_t.

Это означает, что μ(t, P_t) = μ_t = μP_t, а σ(t, P_t) = σ_t = σP_t, т.е. мгновенные доходность и волатильность являются константами и не зависят от времени или цены, тогда как прибыльность в деньгах и ее разброс зависят от уровня цен.

Предположим, что нас интересует логарифм цены, т.е. F(t, P_t) = lnP_t. Логарифм может быть интересным по многим причинам. Некоторые из них станут понятны ниже. Используя правило Ито, можно найти СДУ для "логцены".

Производная по времени ∂F/∂t в данном случае равна нулю, поскольку время в функцию не входит в качестве аргумента. Первая производная по цене ∂F/∂P_t = 1/P_t. Вторая производная по цене ∂²F/∂P_t² = -1/P_t².

Подставив в исходную формулу Ито конкретные значения для μ_t, σ_t и производных, получаем:

dlnP_t = (μP_t/P_t - ½σ²P_t²/P_t²)dt + σP_t/P_tdW_t.

После очевидного упрощения остаётся:

dlnP_t = (μ - ½σ²)dt + σdW_t.

Это хорошо известный результат, из которого видно, что логдоходность dlnP_t всегда ниже обычной доходности dP_t/P_t. Логдоходность же напрямую связана с геометрической доходностью - фактором роста (exp(μ - ½σ²)). Отсюда становится понятен интерес к логарифмам.

Для многих, вероятно, актуален вопрос, как найти производную интересующей функции цены. В настоящее время это вообще не проблема. Вы даже можете не знать, что такое производная, но при помощи специальных программ вычислять их. На помощь приходят Mathematica или Matlab. В крайнем случае можно найти в сети соответствующие таблицы или пообщаться на математическом форуме.

В завершении хотелось бы привести еще один важный пример использования правило Ито. Как уже отмечалось, довольно часто приходится сталкиваться в академической литературе с моделями СДУ неприспособленными к ценовым данным. При помощи правила Ито эта проблема легко решается. Любую зеркальную относительно нуля аддитивную модель можно превратить при помощи экспоненциальной функции в зеркальную относительно единицы мультипликативную модель. Последняя будет допускать только положительные значения для P_t, а значит, годиться для моделирования ценовой динамики.

Итак, имеем СДУ общего вида для абстрактной величины X_t, изменяющейся в диапазоне от -∞ до +∞:

dX_t = μ(t, X_t)dt + σ(t, X_t)dW_t.

Нужно "конвертировать" его в ценовой формат так, чтобы новая величина P_t = F(X_t) принимала значения на интервале от 0 до +∞. Как уже было сказано, подходящей функцией для такого преобразования является экспонента: P_t = exp(X_t). Эта функция примечательна тем, что все ее производные одинаковы и равны ей самой. В частности: ∂F/∂X_t = ∂²F/∂X_t² = exp(X_t). Значит, по правилу Ито:

dexp(X_t) = (μ(t, X_t)exp(X_t) + ½σ(t, X_t)²exp(X_t))dt + σ(t, X_t)exp(X_t)dW_t.

Вспомним, что exp(X_t) = P_t. Из этого следует, что X_t = lnP_t. В итоге приходим к:

dP_t = (μ(t, lnP_t)P_t + ½σ(t, lnP_t)²P_t)dt + σ(t, lnP_t)P_tdW_t.

Если перенести все P_t влево, получаем модель для динамики линейных доходностей:

dP_t/P_t = (μ(t, lnP_t) + ½σ(t, lnP_t)²)dt + σ(t, lnP_t)dW_t.

Для сравнения динамика логарифмических доходностей с учетом того, что X_t = lnP_t имеет вид:

dlnP_t = μ(t, lnP_t)dt + σ(t, lnP_t)dW_t.

Таким образом, различие между этими доходностями заключается только в корректирующем члене ½σ(t, lnP_t)². Логарифмическая доходность любого стохастического процесса всегда чуть меньше линейной доходности, а волатильность негативно сказывается на темпах роста активов. Запомнив этот факт, можно легко переключаться с цены на ее логарифм и обратно:

dP_t/P_t = dlnP_t + ½σ(t, lnP_t)²dt.

На практике удобно сделать логарифмирование цен по умолчанию первым этапом обработки рыночных данных. На этих "логценах" и логарифмических доходностях следует оценивать все параметры стохастической модели. Затем при оптимизации портфеля/стратегии при помощи правила Ито происходит переключение к ценам и линейным доходностям.