Арбитражными стратегиями я интересуюсь довольно давно, но вплотную взялся за эту тему только сейчас. Меня всегда волновал вопрос, насколько критично здесь соблюдение пропорций. Продолжая анализ в духе прошлой заметки, предлагаю разобраться в данном вопросе.

Более реалистичным для парной торговли является допущение о кратности долгосрочного равновесного соотношения цен активов. Вариант паритета цен, рассмотренный ранее, является частным случаем этой модели. Обозначим цену дорогой акции буквой A, а дешевой - буквой Z. Термины дорогой и дешевый здесь не следует интерпретировать фундаментально (переоцененность/недооцененность) или технически (перекупленность/перепроданность). Дорогая акция - это просто бумага с более высокой ценой, поскольку компания-эмитент изначально так задумала для своих долей.

Таким образом, изначальная разница цен акций и схожесть профилей компаний приводит к модели A_t = kZ_t, где k - коэффициент ценового равновесия. В случае отклонения цен от равновесного соотношения, диктуемого данным уравнением, открываются арбитражные возможности, поскольку цены в конечном итоге обязаны сойтись. На практике это означает, что на каждую купленную/проданную акцию A, следует открывать противоположную позицию в объеме k бумаг Z.

Однако точно соблюсти соотношение 1:k практически никогда невозможно. Особенно это актуально для индивидуального инвестора с небольшим капиталом. Допустим, k = 1.5. Это означает, что на каждый лот акции A должно приходиться полтора лота акции Z. На практике же мелкий арбитражер, скорее всего, откроет 1 или 2 лота Z против 1 лота A, а точная позиция на 10 лотов A и 15 лотов Z может быть финансово недоступна. Неизбежно возникает вопрос: чем чревато несоблюдение предписанного моделью соотношения? Разобраться с этим помогает анализ профиля выплат арбитражной стратегии.

Профиль выплат для модели A_t = kZ_t выглядит следующим образом:

A₀ - qZ₀ + A_T(q/k - 1),

где q - реальное количество купленных дешевых акций; индексы 0 и T обозначают цены в момент открытия и закрытия сделок соответственно.

В этом примере предполагается, что акция A перекуплена, а Z - перепродана, т.е. они соответствующим образом отклоняются от равновесного соотношения. Посмотрим, что произойдет, если арбитражер купит 2 акции Z против 1 проданной бумаги A. Для этого достаточно просто подставить q = 2 в выражение профиля выплат. После упрощения получается:

A₀ - 2Z₀ + ⅓A_T.

Отсюда видно, что такое искажение пропорции приводит к слабой форме арбитража, поскольку теперь прибыль зависит от конечной цены A_T.

Для правильного количества q = 1.5 имеем сильный арбитраж:

A₀ - 3/2Z₀.

Сравним прибыльность и доходность этих стратегий при консервативном предположении о боковой динамике. Допустим, что начальные цены A₀ = 1875$ и Z₀ = 800$. Тогда конечные равновесные цены будут A_T= 1875$ / 1.25 = 1500$ и Z_T = AT / k = 800$ × 1.25 = 1000$.

Подставив эти цифры в профиль выплат, получаем прибыльность 675$ и 775$ для сильного и слабого арбитража соответственно. Приведенная доходность составляет 21.95% и 22.30%. Все это означает, что приближенная стратегия с фактическим k = 2 не так уж и плоха. Свойство арбитражности сохранилось хоть и не в сильной форме, а при некоторых сценариях ее прибыльность и доходность даже может быть выше, чем у идеальной с k = 1.5.

Другой альтернативой является стратегия с k = 1, когда просто покупается и продается по одной бумаге каждого эмитента. Ее профиль выглядит так:

A₀ - Z₀ - ⅓A_T.

И без всяких примеров сразу видно, что такая стратегия не является даже слабо арбитражной, поскольку допускает убытки при достаточно высоких значениях A_T. Подставив те же цифры, имеем 575$ и 21.50% для прибыльности и доходности соответственно, что ниже, чем для стратегии с k = 2. Еще хуже, что при A_T > 3225$ она вообще становится убыточной. Этот сценарий не так уж и маловероятен, поскольку данная A_T на 72% выше A₀. Такой исход вполне может реализоваться при вспышке волатильности на рынке.

Если присмотреться к формуле профиля выплат, нетрудно определить общий критерий арбитражности. При q/k < 1 арбитражные возможности отсутствуют, при q/k = 1 имеет место сильный арбитраж, при q/k > 1 - слабый. Отсюда идёт фундаментальное правило: если необходима строгая безубыточность торговой стратегии, размер позиции по перепроданному дешевому активу следует округлять в большую сторону. Казалось бы все классно - простое правило. Однако дьявол как всегда кроется в деталях...

Возьмем, например, ситуацию когда оптимальный k = 1.1. Как ни крути, но здесь напрашивается решение округлить в меньшую сторону, до 1. Формально при этом стратегия утрачивает свойство арбитражности, поскольку второй член в профиле становится отрицательным: -0.09AT. Тем не менее, ясно, что зависимость от конечной цены здесь слабая, а вероятность получить убыток низкая. Более того, если задать в качестве начальных цен, к примеру, A₀ = 1375$ и Z₀ = 800$, то при округлении вверх до 2 стратегия также не является арбитражной из-за неблагоприятной начальной разницы: 1375$ - 2 × 800$ = -225$. В подобных ситуациях для выбора оптимального варианта округления следует проводить сценарный анализ. Полезный инструмент для этого - график профиля выплат.

Для полноты картины остается изучить еще зеркальный случай, когда дорогая бумага перепродана, а дешевая - перекуплена. Профиль выплат приобретает вид:

qZ₀ - A₀ + A_T(1 - q/k).

Логика округления теперь меняется на противоположную. Арбитражность сохраняется при округлении строго в меньшую сторону.

Также следует отметить, что при составлении формулы для профиля выплат мы конечную цену дешевой акции Z_T выразили через конечную цену дорогой акции A_T. Тем самым дорогая акция выступила как бы «базовым активом». На самом деле этот выбор произволен, поскольку регрессионная модель, лежащая в основе парной торговли, при классическом арбитраже не интересуется направлением связей: т.н. «причинность по Гренджеру» может идти в любую сторону, в том числе и в обе, как и предполагалось в рассмотренных примерах. Если за базу взять дешевую акцию выражение для профиля выплат выглядит даже чуть проще:

A₀ - qZ₀ + Z_T(q - k).

Таким образом, приходим к выводу, что искажение пропорций, возникающее на практике при открытии позиций из-за округления, во многих случаях не столь уж критично. Более того, всегда есть возможность сохранить арбитражность стратегии, соблюдая правила округления и открывая позицию только при достаточной величине расхождения цен. В спорных же ситуациях следует проводить сценарный анализ с оценкой вероятностей тех или иных исходов торговли, детально изучая график профиля выплат.