В последнее время я все дальше и дальше отхожу от технического анализа, который для меня, как и для многих других, стал первой попыткой понять законы динамики рынка. Что же может его заменить? Я полагаю, что перспективным описанием является язык теории стохастических процессов.

Теория стохастических процессов (или, проще говоря, случайных процессов) предполагает, что динамику цен можно описать при помощи специальных уравнений. В целом они по смыслу похожи на уравнения классической физики, например, те, что используются для моделирования движения различных объектов. Отличие заключается в том, что здесь явно допускается присутствие случайности в динамике. Эти формулы получили название стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Кстати, они используются в том числе и физиками для описания таких сложных явлений как рассеяние тепла и т.п. Однако наибольшую популярность они приобрели, пожалуй, именно в финансовой математике, особенно в таких ее отраслях как ценообразование производных финансовых инструментов, в частности, опционов, т.е. среди «квантов».

СДУ обычно представляет собой конструкцию вида:

dP_t = μ(P_t, t)dt + σ(P_t, t)dW_t.

Такая запись означает что изменение цены в момент времени t - dP_t, за очень малый (стремящийся к нулю) срок - dt описывается детерминистической (закономерной) и стохастической (случайной) компонентами. Детерминистическая компонента μ(P_t, t) называется коэффициентом сноса (ожидаемая доходность), а стохастическая σ(P_t, t) - коэффициентом рассеяния (ожидаемая волатильность). Запись (P_t, t) означает, что эти параметры являются функциями уровня процесса и момента времени. Получается, что текущая доходность актива может зависеть от его цены и количества времени прошедшего после некоторого события, что вполне логично, и позволяет моделировать весьма широкий класс процессов.

Детерминистическая часть СДУ ничем не отличается от обычного диффура, с которым имеют дело математики и физики. Его решением будет интеграл от 0 до T по dt. Значение этого интеграла соответствует ожидаемому среднему значению цены в интересующий момент времени T. Интеграл не всегда «берется», т.е. его бывает невозможно представить в виде какого-либо обычного математического выражения типа T² или exp(T) и т.п. Однако его всегда можно приблизительно оценить численно, поскольку он представляет собой просто площадь под графиком.

Со стохастической частью дело обстоит сложнее. Запись dW_t означает нормально распределенную случайную величину с нулевым средним и волатильностью порядка dt^1/2. Решение такого выражения называется стохастическим интегралом. Грубо говоря, он представляет собой сумму большого числа случайных величин, когда интервал dt стремиться к нулю. Несмотря на устрашающее название, стохастический интеграл имеет одно простое и удобное свойство. Дисперсию случайного процесса можно вычислить через обычный интеграл. Для этого нужно выражение, стоящее под знаком стохастического интеграла перед dW_t, возвести в квадрат и проинтегрировать обычным образом от 0 до T по dt аналитически или численно.

Таким образом, можно довольно просто вычислить не только ожидаемый уровень цены в любой момент времени, но и ее разброс относительно этого уровня (корень из дисперсии). Кроме того, для некоторых актуальных для практики стохастических процессов, например, Блэка-Шоулза или Васичека, вообще можно вычислить весь закон распределения цены, что дает полное вероятностное описание ее динамики «прямо на блюдечке».

Помимо того, что СДУ позволяют моделировать широкий класс процессов ценовой динамики, они еще и являются практически универсальным языком описания торговых стратегий. Так, можно ввести функцию вида q(P_t, t). Тогда динамику капитала при ценовом процессе P_t можно записать следующим образом:

dK_t = q(P_t, t)(μ(P_t, t)dt + σ(P_t, t)dW_t).

Функция q(P_t, t) определяет сколько акций должно быть в портфеле в каждый момент времени t, что по сути и является содержанием любой торговой стратегии. Она может принимать как положительные (long), так и отрицательные (short) значения. Количество акций в текущий момент может зависеть от актуальной цены P_t, а также от других условий, например прошлых цен P_t-h. Торговая стратегия, заданная через q_t даже может быть случайным процессом - торговля по монетке и т.п.

Все это позволяет по новому подойти к созданию и испытанию торговых стратегий. Вместо использования технических индикаторов вроде MACD и т.п. можно подгонять к ценовой динамике непосредственно модели стохастических процессов, что позволит лучше понять ее свойства, например, отличается ли она от чисто случайного блуждания, и соответственно имеет ли смысл торговать перекупленность/перепроданность и т.п. вещи. Оценив модель по выборке реальных котировок, испытать ее устойчивость можно в статистических испытаниях (метод Монте-Карло), генерируя различные траектории динамики капитала под той или иной стратегией. Для этого достаточно подавать случайные числа (dW_t) в соответствующее СДУ.