В предыдущей заметке я коснулся одного непонятного для меня момента в статистическом арбитраже, а именно, как он соотносится с трендовой торговлей. Продолжаю размышления на эту тему.

Вкратце суть проблемы заключается в следующем: «параллельны» ли эти стратегии, или же они как-то «пересекаются»? Например, теоретически можно представить себе некий «фонд фондов», который инвестирует некоторую долю средств в арбитражную стратегию и некоторую - в трендовую. Если деятельность такого фонда оправдана с точки зрения роста доходности, то можно сказать, что стратегии пересекаются. Если же выгоднее инвестировать во что-то одно, они параллельны.

Кажется, я нашел ответ на этот вопрос. Но прежде чем перейти непосредственно к «доказательству» (я - не математик, поэтому в кавычках), следует определиться с исходными «постулатами». Итак, имеются две акции, динамика которых описывается процессом Блэка-Шоулза, так же известном как геометрическое броуновское движение. Пятерка параметров полностью задает статистические свойства пары: μ₁, μ₂, σ₁, σ₂ и ρ₁₂ - доходности, волатильности и корреляция. Для простоты пока примем ρ₁₂ = 0. Предположим, что значения остальных четырех параметров известны точно, например, в результате оценки на истории котировок.

Кроме того, пара акций связана коинтеграцией с долгосрочным ценовым соотношением 1:1. Это означает, что в среднем цены обеих бумаг должны быть равны, и когда они отклоняются друг от друга, запускается механизм коррекции, толкающий их обратно к паритету. Это добавляет в модель еще два параметра: λ₁ и λ₂ - коэффициенты реверсии для первой и второй акций соответственно. Они также известны точно.

Поскольку статистические свойства пары полностью известны в силу запостулированной модели, можно сравнивать доходность различных стратегий, в частности трендовой и арбитражной. В каждый момент времени t, инвестор имеет выбор между этими двумя стратегиями, которые задаются через доли каждой акции в портфеле: ℓ₁ и ℓ₂. Их сумма в общем случае может и превышать единицу (использование заемных средств). Как же определить, что оптимальнее? Здесь на помощь приходит старая добрая регрессия. Размышляя над проблемой, я вспомнил о собственной заметке, посвященной регрессионному подходу к оптимизации портфеля. Это помогло сложить все кусочки головоломки воедино.

Посути постулированная модель динамики пары является регрессионной. Это позволяет записать условную доходность каждой бумаги через ее безусловную доходность и соотношение цен акций. Волатильности бумаг - величины постоянные, независящие от величины «раздвижки». Раз так, имеется все необходимое для вычисления долей оптимального портфеля. Как уже говорилось, доля каждой акции находится по формуле:

ℓ = μ/σ²,

где μ - условная доходность бумаги, а σ² - остаточная дисперсия.

Условную доходность, например, для второй бумаги можно вычислить следующим образом:

μ_2|1 = μ₂ + λ₂(S₂ - S₁),

где S₁ и S₂ - цены первой и второй акций соответственно.

Отсюда видно, что оптимальная стратегия имеет довольно интересную структуру: арбитражная торговля как бы накладывается поверх трендовой. Размер оптимальной доли зависит от отношения безусловной доходности к волатильности (трендовая часть: μ₂/σ^₂2) и отношения условной доходности спреда к волатильности (арбитражная часть: λ₂(S₂ - S₁)/σ^₂2). Условная доходность зависит от соотношения цен и может быть как положительной, так и отрицательной. В случае, когда она отлична от нуля проводятся арбитражные операции. Если же раздвижка сжимается до нуля, остается только позиция по тренду.

Возвращаясь к исходной формулировке проблемы, можно констатировать, что арбитражная и трендовая стратегии пересекаются, а деятельность фонда фондов имеет смысл. На практике однако имеется ряд проблем затрудняющих применение подобной комплексной стратегии, но об этом поговорим в следующий раз. Кроме того, хочу подчеркнуть, что все формулы приведенные выше нуждаются в сверке, поскольку это пока лишь предварительные выводы.