Оптимизация и анализ больших инвестиционных портфелей – непростое дело. Так, даже если все активы имеют положительную ожидаемую доходность, в оптимальном портфеле все равно могут возникать короткие позиции (отрицательные веса). Вес каждого актива определяется сложной «игрой» корреляций и доходностей, которую в общем случае невозможно представить наглядно и доступно. Однако на помощь инвестору приходит старый добрый регрессионный анализ!

Для начала отмечу, что под оптимальным портфелем здесь понимается, портфель, обеспечивающий максимальный рост капитала в долгосрочной перспективе, известный как ОПР – оптимальный портфель роста (growth optimal portfolio). Это важный частный случай. Он является самым простым для понимания и одновременно актуален для активных инвесторов, а так же части спекулянтов.

Веса такого портфеля находятся по формуле Σ^-1µ, где µ – вектор-столбец избыточных доходностей активов, а Σ – ковариационная матрица, задаваемая волатильностями и корреляциями бумаг. Казалось бы выражение для весов весьма простое. Однако для их вычисления надо сначала найти обратную матрицу Σ^-1. В общем случае это довольно сложная операция, требующая использования специальных программ, например, Matlab и т.п. Более-менее просто обратная матрица вычисляется только для случая портфеля из двух активов. Еще хуже, что понять почему вес того или иного актива получился именно таким, в частности, положительным или отрицательным, очень трудно. Для этого надо ориентироваться в пространстве обратной матрицы, понимать, как она возникает из исходной матрицы ковариаций, и как взаимодействует с вектором доходностей. Для инвестора с портфелем, состоящим больше чем из 2-3 активов, это практически непосильная задача.

Однако вес актива в оптимальном портфеле можно вычислить и другим путем! Для этого надо построить регрессию интересующей бумаги на остальные. Эта бумага становится зависимой, объясняемой переменной, y, а другие – независимыми, объясняющими переменными, вектором х. Сделать это можно в любом статистическом пакете, в том числе и в Excel. В итоге на выходе процедуры линейной регрессии будет получен ряд величин, через которые и можно вычислить искомый вес актива в портфеле, а именно:

w_i = α_i/(σ_i²(1 - Ρ²)),

где α_i – коэффициент смещения (bias) регрессии, также известный как отрезок (intercept), σ_i² – дисперсия i-го актива, Ρ² – коэффициент детерминации, который представляет собой квадрат корреляции актива и «объясняющего портфеля» (множественная корреляция), поэтому я его и обозначил здесь большой буквой «ро» по аналогии с ρ для обычной корреляции двух активов. Очень часто он обозначается R².

На самом деле формула даже проще чем выглядит. В числителе ее стоит отрезок – константа в уравнении регрессии, а в знаменателе остаточная, необъясненная дисперсия (unexplained variance). Эти термины хорошо известны, тем, кто имел дело с регрессионным анализом.

Еще важнее то, что регрессионный подход позволяет прояснить, как возникают веса, в понятных для инвестора терминах. Понятие «альфа» уже давно стало частью жаргона инвестиционного сообщества. Любому портфельному управляющему оно хорошо знакомо. Как видно, вес актива в ОПР зависит именно от альфы. Чем выше альфа актива по отношению к эталону (benchmark), в качестве которого здесь выступает портфель из остальных бумаг, тем сильнее он будет представлен в ОПР. Есть и еще один, пожалуй, наиболее элегантный вариант записи представленной выше формулы:

w_i = (µ_i - µ_P)/(σ_i² - σ_P²).

Альфа, по сути, представляет некую избыточную доходность (α_i = µ_i - µ_P), которую актив генерирует даже в случае нулевой доходности эталона, о чем и говорит эта форма записи. Также интересно отметить схожесть структур числителя и знаменателя. Она не случайна. В терминах теории вероятности в числителе стоит условное математическое ожидание доходности актива при нулевой доходности эталона, а в знаменателе – условная дисперсия, которая в классической модели не зависит от конкретных значений доходности объясняющего портфеля. Таким образом, становится понятно, что формула для веса актива в оптимальном портфеле в общем случае является обобщением ситуации с одним активом или с несколькими некоррелированными активами, где в числителе стоит просто матожидание доходности (безусловное), а в знаменателе – обычная дисперсия.

Теперь нетрудно ответить на вопрос, когда в оптимальном портфеле появляются отрицательные веса. Короткие позиции возникают у активов имеющих отрицательную альфу. За регрессионным подходом стоит интуитивно понятная идея. По сути «объясняющий портфель», веса которого задаются бета-коэффициентами из уравнения регрессии, представляет собой некий синтетический инструмент, старающийся реплицировать динамику оригинального актива, поскольку процедура регрессии «ищет» максимально коррелированную с ним комбинацию остальных активов. В итоге становится возможно узнать, что лучше: «оригинал» или «синтетика». Если доходность «оригинала» выше (α_i > 0), его стоит купить, если ниже (α_i < 0) – возникает короткая позиция. В частном случае, когда «оригинал» не имеет «аналогов» (корреляции отсутствуют), он автоматически получает положительный вес, поскольку бета с объясняющим портфелем нулевая, и его невозможно воспроизвести синтетически.

Бумаги с высокой альфой получают большой положительный вес в портфеле, поскольку они сами по себе являются «генераторами» роста, а бумаги с низкой альфой уступают своим «синтетическим аналогам», поэтому их выгодней продать для хеджирования длинных позиций. Такое хеджирование улучшает соотношение доходность/волатильность по всему портфелю и позволяет достигнуть более высокого фактора роста. Исключением является довольно редкий на длинных инвестиционных горизонтах случай, когда актив не коррелирует с другими бумагами, но при этом имеет отрицательную доходность сам по себе. В этом случае он «коротится» именно из-за отрицательной доходности, а не для создания «эффекта хеджирования».

РПОП также имеет потенциал для исправления проблем типичных для стандартных процедур. В регрессионном анализе хорошо известно, что с ростом числа независимых, объясняющих переменных коэффициент детерминации R² (квадрат множественной корреляции актива и эталонного портфеля) также растет, поскольку включение новой переменной не может его понизить. Даже если она никак не объясняет зависимую переменную, бета-коэффициент обнулится, а R² останется на прежнем уровне. Отсюда становится понятным, почему в больших ОПР часто встречаются активы с экстремально высокими по модулю весами. Включение новых активов ведет к элиминации числителя σ_i² (1 - Ρ²) за счет случайных корреляций, раздувающих коэффициент детерминации, которые неизбежно возникают при выборочном оценивании и приводят к необоснованному росту весов и риска. В качестве простейшего рецепта здесь напрашивается использование в формуле вместо обычного R² (Ρ²) скорректированного (adjusted) коэффициента, который учитывает количество объясняющих переменных в модели (количество активов в портфеле).

Еще одна интересная «фишка» регрессионного подхода заключается в использовании арсенала стандартных статистических тестов в инвестиционных целях. Так, можно, например, тестировать значимо ли отличаются текущие веса портфеля от некоторого целевого уровня, подобно тому, как тестируются на значимость коэффициенты в регрессионном анализе. Это может пригодиться при принятии решений о ребалансировке весов или об открытии позиции вообще и т.п.

В общем регрессионный подход к оптимизации портфеля является очень широким полем для изучения и эксперимента, охватить которое целиком я на текущий момент не в состоянии, но вкратце можно попытаться подытожить:

1. РПОП позволяет находить оптимальные веса даже тем, кто не дружит с матрицами и/или не имеет специальных программ, но владеет статпакетами и/или Excel;

2. РПОП облегчает понимание структуры оптимального портфеля в терминах альфы и условных моментов;

3. РПОП способен решить часть практических проблем оптимизации и динамического контроля оптимального портфеля, в частности, таких как ребалансировка.