Совершенно внезапно пришел к одному важному выводу. Оказывается, динамика капитала при оптимальном управлении подчиняется универсальному закону, независящему от исходных статистик финансовых инструментов в портфеле. Это создает единую «платформу» для сравнения эффективности различных способов размещения активов.

Для начала стоит определится с тем, что значит оптимальность. Для себя я считаю оптимальным портфель, имеющий максимальную ставку роста при заданном уровне риска, измеряемом, например, ожидаемой просадкой на том или ином инвестиционном горизонте T. Естественно, это не только моя точка зрения. В академической литературе это обознается как максимизация ПОИР-полезности. Аббревиатура расшифровывается как постоянное относительное избегание риска – CRRA-utility в англоязычных источниках. На самом деле здесь нет ничего сложного. ПОИР предполагает, что инвестор все время рискует одной и той же долей капитала. Например, стартуя с ¤100 000, он принимает потерю ¤25 000; когда капитал достигает ¤1 000 000, размер допустимой просадки увеличивается до ¤250 000, т.е. риск все время составляет 25%. Кстати, ¤ – универсальный символ для любой валюты, как я недавно узнал. Частным случаем ПОИР является логарифмическая полезность, известная среди спекулянтов как «критерий Келли», «оптимальное f» и т.п. Если всегда использовать кратный по отношению к диктуемому критерием Келли размер позиции, можно получить весь спектр ПОИР-стратегий в соответствии с тем или иным коэффициентом риск-аверсии.

В общем случае динамика активов в портфеле может быть самой разной. Например, у каких-то бумаг может присутствовать реверсия к основной тенденции, т.е. небанальная прогнозируемость будущих цен, у каких-то – отсутствовать (обычное случайное блуждание). Проще говоря, отдельные инструменты действительно могут демонстрировать перекупленность/перепроданность, на которой можно сделать дополнительную прибыль, вплоть до открытия коротких позиций, на других – это будет лишь иллюзией, порожденной «волнами» случайного блуждания. Так или иначе, оптимальное управление по определению учитывает все свойства динамики актива, на которых можно заработать. Каким образом эти характеристики становятся известными – это уже другой вопрос. Здесь предположим, что они просто известны, и все. Раз так, то ничего удивительного нет в том, что динамика роста капитала под оптимальным управлением должна быть лишена каких-либо тонких свойств, таких как реверсия или инерция. Действительно, ведь если бы они присутствовали, их можно было бы учесть для повышения доходности, а, значит, они бы в итоге исчезли.

В результате приходим к несколько парадоксальному выводу: динамика оптимального портфеля должна быть максимально непредсказуемой. Единственное, что можно сказать о размере капитала в будущем: ожидается, что он будет выше, чем сейчас соразмерно ставке роста. Если в текущий момент времени капитал равен K_t, то спустя T лет он прогнозируется на уровне K_t (g+1) ^T., где g – ставка роста оптимального портфеля. Никаких других более сложных закономерностей динамика собственных средств в этом случае не допускает. Например, сегодняшняя прибыль не повышает вероятность завтрашней прибыли (отсутствие инерции); серьезное отклонение от ожидаемой траектории роста не означает ускоренное восстановление в будущем (отсутствие реверсии). Единственное значение имеет текущий уровень средств, от которого всякий раз и «пляшет» случайный процесс динамики капитала оптимального портфеля.

Какой случайный процесс соответствует вышеописанным свойствам? Не так сложно догадаться, что это процесс случайного блуждания со сносом, точнее геометрическое/экспоненциальное случайное блуждание, чтобы собственные средства инвестора всегда оставались положительными. Самой известной и математически удобной его версией является процесс Блэка-Шоулза или геометрическое броуновское движение (ГБД). Эта модель предполагает, что капитал изменяется непрерывно и без резких, скачкообразных движений, что актуально для высокодиверсифицированных порфелей и/или высоколиквидных активов. В качестве приближения процесс Блэка-Шоулза можно использовать для описания динамики практически любых портфелей и стратегий. В общем случае следует рассматривать более сложные процессы, например, диффузионно-скачковый процесс Мертона или вообще процессы Леви. Радует здесь то, что эти процессы довольно хорошо изучены, особенно ГБД.

Универсальность динамики капитала под оптимальным управлением также означает, что весьма точно любую торговую стратегию можно описать при помощи всего двух параметров: доходности и волатильности. В частности, для процесса Блэка-Шоулза это описание является исчерпывающим. Соответственно деятельность любых управляющих, использующих вышеприведенный критерий оптимальности, можно сравнивать, используя коэффициент Шарпа – доходность/волатильность. Кроме того, размер возможной просадки средств в случае оптимального управления зависит только от уровня избегания риска. Проще говоря, все, скажем, «полу-Келли» стратегии будут асимптотически иметь одну и ту же просадку – 25%, независимо от ставки роста капитала. Все это значительно упрощает сравнение и анализ самых разных портфелей и стратегий в рамках единого подхода. Каждая стратегия/портфель полностью задается тремя параметрами: доходностью, волатильностью и задействованным рычагом. Все остальные характеристики: коэффициент Шарпа, ставка роста, просадка и т.п. аналитически выводятся из основных параметров по формулам для ГБД.

По моему мнению, предложенный подход можно использовать и для анализа управляющих «официально» придерживающихся других «идеологий» портфельной оптимизации, поскольку, в конечном счете, они также используют некоторый фиксированный рычаг – в общем случае он будет усредненный. Таким образом, если вам близка идеология ПОИР-полезности, вы можете с ее позиций оценивать эффективность даже тех, кто формально ее не использует, поскольку по факту этот управляющий все же будет осуществлять некоторою усредненную ее версию. Это открывает интересные перспективы, поскольку при помощи процесса Блэка-Шоулза можно смоделировать очень широкий круг стратегий и оценить ожидаемую просадку даже тех фондов, которые такой показатель не приводят/не прогнозируют, при помощи очень простой формулы. Фактически процедура оценки просадки через доходность, волатильность и рычаг могла бы стать промышленным стандартом, подобно практике аннуализации волатильности умножением на корень из числа торговых дней в году.

Наконец, если стратегия управляющего действительно является оптимальной или даже, если он просто таковой ее считает, то ему для оптимизации размера торговой позиции нужно знать лишь показатели динамики капитала, в первом приближении – доходность и волатильность. Это позволит выбрать наиболее приемлемый с точки зрения ожидаемой просадки или роста размер финансового рычага.

В завершение напомню, что лог-оптимальный рычаг вычисляется по формуле: ℓ^* = µ/σ², где µ – избыточная доходность стратегии сверх процентной ставки за кредит/депозит, σ – волатильность. ПОИР-оптимальный рычаг получается делением лог-оптимального на коэффициент риск-аверсии: ℓ = ℓ^*/λ. Стратегии «полу-Келли» соответствует λ = 2. Средняя асимптотическая просадка при T→∞ находится через риск-аверсию: = (2λ)^-1, т.е. финансовый риск стратегии при оптимальном управлении зависит только от психологической склонности к риску инвестора. Не правда ли, замечательный факт?!