Существует определенная литература и практика, согласно которой считается, что низковолатильные портфели обладают некоторыми преимуществами по сравнению с другими возможными схемами портфельной оптимизации. Каковы эти преимущества и почему так получается? Попробуем разобраться…

Для начала следует дать определение основному понятию этой портфельной идеологии – global minimum variance portfolio. Если перевести его на русский язык, получается несколько громоздкое «портфель глобального минимума дисперсии». Как и следует из названия, этот портфель имеет минимально возможную дисперсию, а значит, и волатильность.

Если известны ожидаемые волатильности и корреляции активов, найти веса GMV-портфеля довольно просто:

Σ^-11/(1’|Σ^-11|),

где Σ – ковариационная матрица, 1 – единичный вектор, ’ – операция транспонирования, | | – модуль (абсолютное значение).

Такого рода операции очень легко выполняются, напр., в Matlab:

V^-1*ones(length(V),1)/(ones(length(V),1)'*abs(V^-1*ones(length(V),1)))

Воспользовавшись данной формулой, можно получить полностью инвестированный (fully invested) портфель с финансовым рычагом равным единице. При этом допускаются и короткие продажи, но суммарная абсолютная стоимость длинных и коротких активов всегда равна собственным средствам. При необходимости на короткие позиции можно наложить ограничение. В этом случае ряд весов может обнулиться.

Чем же интересен этот портфель? Во-первых, для ряда инвесторов он может быть привлекателен сам по себе – своей низкой волатильностью: в эпоху повышенной волатильности на финансовых рынках портфель с низкой волатильностью кажется более комфортным и уютным. Во-вторых, эмпирические исследования и реальная торговля показали, что он может превосходить по доходности широкие фондовые индексы и т.п. бенчмарки. А вот это уже интересно! Еще интереснее попытаться разобраться, почему так происходит…

Для этого обратимся к теории. Популярной и простейшей моделью ценовой динамики является т.н. «геометрическое броуновское движение». Согласно данной модели трендовую составляющую в динамике портфеля ценных бумаг можно описать следующей формулой:

exp(µ - ½σ²)

Знак экспоненты можно опустить, поскольку принципиальной роли он здесь не играет, и сосредоточиться на том, что находится в скобках: µ - ½σ².

Из этого выражения видно, что скорость роста портфеля (средняя геометрическая) зависит от двух параметров – средней арифметической доходности и волатильности. Чем выше доходность и чем ниже волатильность, тем быстрее растет портфель. Стандартные схемы портфельной оптимизации предполагают, что нам каким-то образом известны будущие ожидаемые доходности бумаг. На практике же эти величины очень плохо поддаются прогнозу, и «забиваемые» в модель оценки могут очень отличаться от того, что встретится в будущем при реальных инвестициях, а портфель оказывается неадекватно «перекошенным» в сторону тех или иных бумаг. В результате эффективность такого портфеля может быть очень низкой, в частности ниже рыночного индекса.

GMV-портфель по контрасту вообще не использует оценки доходностей – µ. Если ожидаемые доходности непредсказуемы, в этом есть определенный смысл. Мы отказываемся от оптимизации на основе неизвестных параметров и концентрируемся на волатильностях. В отличие от доходностей волатильности (и корреляции) более устойчивы и даже до некоторой степени поддаются прогнозированию (GARCH и т.п.). Если сделать не очень уж фантастичное (по сравнению с доходностями) предположение о том, что ожидаемые волатильности известны точно (их можно, напр., оценить по историческим данным), то в итоге имеем следующую картину. Любой не GMV-оптимизированный портфель будет иметь неизвестную µ и некоторую σ. GMV-портфель также будет иметь заранее неизвестную доходность, но при этом минимально возможную волатильность!

Предположим, что первый портфель имеет волатильность 50%, а второй (GMV) – 20%. Тогда получается: x - 0.5²/2 и x - 0.2²/2 или x - 0.125 и x - 0.02.

Через «икс» я обозначил неизвестную доходность. Получается, что потенциал GMV-портфеля выше, поскольку из неизвестной доходности вычитается меньшее число. В этом примере потенциальная доходность GMV выше на 10.5%.

Второй причиной успешности таких портфелей является регулярная ребалансировка весов. Обычно, чтобы минимизировать транзакционные издержки, она осуществляется раз в квартал, раз в полугодие или раз в год. Здесь имеет место эффект реинвестирования, когда деньги периодически «переливаются» между активами, и в результате структура портфеля не деформируется во времени. Если же ребалансировка не осуществляется, со временем успешные активы захватывают все больший вес в портфеле, и он уже перестает быть GMV-оптимальным, волатильность растет, что отрицательно сказывается на росте его стоимости.

Справедливости ради, следует заметить, что вопрос о том, насколько успешность GMV связана именно с минимизацией волатильности остается открытым, поскольку «наивные» портфели с одинаковыми весами также обычно превосходят по росту фондовые индексы, если они подвергаются ребалансировке. Поэтому не стоит исключать возможности того, что превосходство GMV-портфелей полностью объясняется только ребалансировкой.