Вычисление вероятности разорения – это одна из важнейших проблем в управлении капиталом и риском. В общем случае её невозможно решить каким-либо простым способом. Однако на практике фактически есть только две рациональных торговых стратегии: стратегия «непрерывного» реинвестирования (торговля с постоянным рычагом), когда размер позиции наращивается при росте депозита и сокращается при его падении и стратегия «buy & hold» («купил и держи»), когда размер позиции не корректируется к текущим рыночным ценам.

Почему эти стратегии являются рациональными? Реинвестирование рационально, поскольку оно заставляет «деньги работать» – все время вкладывается доля средств пропорциональная общему размеру капитала. Эта стратегия хороша для долгосрочных перспектив. Можно математически доказать, что в этом случае она оптимальна – обеспечивает наибольший ожидаемый рост капитала при наименьшем возможном риске. Однако у этой стратегии есть и недостатки. Во-первых, это транзакционные издержки. В идеале необходимо докупать/продавать при каждом тиковом изменении цены. Но это нереально, поскольку затраты (в виде спреда и/или брокерской комиссии) в этом случае превысят любые ожидаемые прибыли. Поэтому на практике реинвестируют или на периодической основе, например, в конце каждого дня, недели, месяца или каждое 1-, 5-, 10-процентное движение цены (последний вариант предпочтительнее, но я пока не буду здесь углубляться в этот вопрос, поскольку он заслуживает отдельного обсуждения). Во-вторых, это сама трудоемкость отслеживания изменения цен и состояния депозита. В идеале всегда следует быть «онлайн», чтобы оперативно сокращать или наращивать позицию. Это тоже может быть связано с материальными затратами.

Стратегия buy & hold предполагает, что размер позиции остается неизменным вне зависимости от изменения цены. Ее достоинство – в экономии затрат на комиссиях и спредах, а также в отсутствии необходимости непрерывного мониторинга состояния счета, как при стратегии реинвестирования. К тому же в краткосрочной перспективе buy & hold обычно обгоняет стратегию «сложного процента». Это также может делать ее привлекательной в определенных ситуациях.

Итак, если свести все множество стратегий управления капиталом к двум вышеперечисленным, то можно относительно легко оценить вероятность разорения. От чего будет зависеть эта вероятность? Она будет зависеть целиком от параметров торговой системы, от её средней доходности и волатильности, и от размера финансового рычага, а также от времени торговли. Чем выше доходность, ниже волатильность, меньше финансовый рычаг и время торговли – тем меньше вероятность разорения. Само понятие «вероятность разорения» можно понимать расширенно, как вероятность «просадки», напр., в -25, -50, -75%, поскольку брокер никогда не даст вам разориться полностью – раньше наступит margin call. Таким образом «на входе» имеем следующие переменные: доходность, волатильность, финансовый рычаг, тип стратегии (с реинвестированием или без), уровень просадки. Я не буду здесь вдаваться в математические тонкости, скажу лишь, что эти вероятности можно довольно просто вычислить и приведу соответствующие формулы. Человеку далекому от математики они, скорее всего, покажутся очень сложными. Но это только на первый взгляд. Поверьте, использование этих формул гораздо проще, чем оценивание вероятностей при помощи численного моделирования через датчик случайных чисел. Кроме того, в разделе "калькуляторы" есть уже готовый калькулятор в виде exсel-файла, в котором эти формулы уже «зашиты» и вам достаточно будет только задать значения параметров.

Формула для стратегии с реинвестированием:

normcdf((log(1-D)-(e*L-s²*L²/2)*t)/s/L/sqrt(t))+ ... 
exp(2*(e*L-s²*L²/2)*log(1-D)/s²/L²)*normcdf((log(1-D)+(e*L-s²*L²/2)*t)/s/L/sqrt(t))

Формула для стратегии «buy & hold»:

normcdf((log(1-D/L)-(e-s²/2)*t)/s/sqrt(t))+ ... 
exp(2*(e-s²/2)*log(1-D/L)/s²)*normcdf((log(1-D/L)+(e-s²/2)*t)/s/sqrt(t))

Формулы записаны в формате MATLAB: normcdf() – кумулятивная функция нормального распределения, log() – натуральный логарифм. Переменные: e – доходность, s – волатильность, t – инвестиционный горизонт,  L – рычаг, D – просадка (например, 0.25 – потеря 25% депозита). Хочу отметить, что в традиционной математической системе обозначений они выглядят гораздо проще и элегантнее – нагромождение скобок возникает при компьютерной записи. Зато эти выражения можно легко скопировать и вставить в командную строку любой математической программы, например, того же MATLAB.

Чем чаще вы реинвестируете, тем точнее будет работать первая формула. На практике можно использовать обе формулы: первая будет давать нижнюю границу вероятности просадки, а вторая – верхнюю. Обычно вероятность сильной просадки больше при стратегии «купил и держи». Например, при e=0.1, s=0.1, t=1, L=10, D=0.9 вероятность 90% просадки, вычисленная по первой формуле, составляет 0.6%, а по второй – 11.3%. Чем ближе ваша стратегия к первой стратегии, то есть чем чаще вы реинвестируете, тем точнее будет вероятность, найденная при помощи первой формулы, и наоборот, чем больше ваша стратегия похожа на buy & hold, тем лучшую оценку дает вторая формула. Если усреднить обе вероятности, получаем оценку 6%.

Возможность вычисления вероятности просадки позволяет обосновано подойти к выбору оптимального рычага: трейдер выбирает приемлемый для себя уровень просадки на некотором временном промежутке, например, не больше 25% в год и выбирает размер финансового рычага соответствующий этой вероятности. Если его не устраивает доходность при таком уровне просадки, он может задуматься об увеличении финансового рычага, и так вплоть до максимально возможного обоснованного размера финансового рычага.

См. также калькуляторы:
Вероятность разорения и просадки

© q-trader

[обсудить на форуме]