Существует довольно большое количество методов управления капиталом, например, таких как мартингейл (последовательное удвоение ставок при проигрышах) или, скажем, торговля постоянным количеством лотов. Однако все эти методы – просто художественная самодеятельность их авторов, в лучшем случае – бесполезная, а в худшем – еще и опасная. Наиболее адекватными из популярных книг на эту тему являются работы Ральфа Винса.

В своих книгах он развивает идею «оптимального f». Оптимальное f – это доля капитала под риском. Например, при f = 10% предполагается, что в каждой сделке трейдер рискует не более чем 10% своего депозита. Винс показал, что оптимальной с точки зрения максимизации конечного капитала является стратегия постоянного f. При всем уважении к работам Винса, следует отметить, что он не был оригинален. Фактически он изобрел велосипед. Все эти результаты были известны уже в начале 70-x гг. Они были сформулированы в работах Роберта Мертона по динамической оптимизации портфеля в непрерывном времени. Правда, изложено это все было таким мудреным языком (стохастические интегралы), что для большинства трейдеров и даже более математически подкованных людей это было недосягаемо, а значит и бесполезно. Между тем, если преодолеть терминологический барьер, можно оценить огромную практическую значимость результатов полученных Мертоном.

Из работ Мертона следует, что оптимальными являются портфели с постоянным финансовым рычагом. Что это значит? Для простоты рассмотрим «портфель» состоящий из одной акции и банковского счета (или облигации) – источника кредита. Имеется история сделок торговой системы для этой акции или история котировок, если предполагается простая торговля по тренду. Если торговая система действительно рабочая (тренд будет продолжаться), то она должна и в будущем приносить доходность сопоставимую с доходностью полученной при подгонке. Раз так, то можно оптимизировать на прошлых данных не только параметры системы, но и финансовый рычаг для этой системы, в предположении, что в будущем рыночные условия кардинально не изменятся и система останется работоспособной. Для простоты, пускай, будет всего две сделки. Доходности по ним: 0.02 и -0.01. Например, в первый день цена выросла на 2%, а на второй – упала на 1%. Конечная доходность за два дня (1+0.02) x (1-0.01) - 1 = 0.0098, то есть 0,98%, чуть меньше 1%. Попробуем найти оптимальный финансовый рычаг, который максимизирует конечную доходность. Для этого введем переменную РЫЧАГ. Тогда нам нужно будет найти максимум следующего выражения (или, как говорят математики, найти максимум функции):

(1+0.02 x РЫЧАГ) x (1-0.01 x РЫЧАГ)

Как это сделать? Существует много способов. Здесь я для простоты понимания воспользуюсь простым перебором. Если начать перебирать все возможные значения РЫЧАГа от 0 до 100 с единичным шагом (опять же для простоты), то неизбежно будет найдено такое значение РЫЧАГа, при котором конечная доходность максимальна. Почему от 0 до 100? Ноль – это нижняя граница для РЫЧАГа – тут все понятно. Откуда берется число 100? Это тоже просто. Его задает максимальный убыток в серии сделок. В моем примере это -0.01. Легко убедится, что при РЫЧАГе в 100 имеем полное разорение -100% убытка. Ясно, что выше этого порога поднимать РЫЧАГ нет смысла. Таким образом, верхний предел для РЫЧАГа равен: 1/min, где min – наихудшая сделка в серии. Итак, если перебрать все возможные значения РЫЧАГа от 0 до 100, можно найти, что максимум конечной доходности за два дня достигается при РЫЧАГ = 25. Он равен 12.5%. Для сравнения при РЫЧАГ = 24 и РЫЧАГ = 26 имеем в обоих случаях: 12.48%.

Итак, я показал, как найти значение РЫЧАГа, при котором конечный капитал максимален. Но что это значит на практике? Как использовать это знание при торговле? В одной заметке (см. Учимся работать финансовым рычагом) я объяснил, как связаны финансовый рычаг и размер позиции. Теперь становится понятно, как выбирать размер позиции, чтобы достигнуть максимальной прибыли. Рассмотрим практический пример. Депозит: 10000USD. Оптимальный рычаг (теперь он известен!): 25. Цена акции: 50USD. Начало первого дня: покупаем 10000*25/50/100 = 50 лотов. Цена растет на 2% в день до 50USD x 1.02 = 51USD за акцию. К концу дня имеем:

• стоимость купленных акций: 250000USD x 1.02 = 255000USD;
• прибыль: 255000USD - 250000USD = 5000USD;
• свободные средства на депозите: 10000USD + 5000USD = 15000USD;
• текущий финансовый рычаг: 255000USD/15000USD = 17.

Рычаг упал, как и следовало ожидать, поскольку цена выросла. Это значит, что нужно докупиться! Нужно докупить акций до суммы: 15000USD x 25 = 375000USD. У нас уже есть акций на сумму 255000USD. Значит нужно докупить (375000USD - 255000USD)/51USD = 2353 акции или 23.53 лота. После этого финансовый рычаг восстановится до необходимого уровня 25.

На следующий день цена упадет на 1% и составит: 51USD x 0.99 = 50.49USD. Финансовый рычаг поднимется и к концу дня составит: 371250USD/11250USD = 33. Теперь надо сбрасывать лишние акции, чтобы понизить рычаг. Это напоминает полет на воздушном шаре. Когда шар приближается к земле (баланс уменьшается), сбрасывают балласт (продажа части акций), чтобы он не опустился на землю окончательно (стоп-аут). Надо продать акций на сумму: (371250USD-11250USD x 25) = 90000USD. Это будет 90000USD/50.49 = 1783 акции (17.83 лота). После продажи такого количества лотов финансовый рычаг вновь вернется в исходное положение 25.

Приведенный пример, не смотря на всю схематичность, позволяет сделать ряд важных выводов:

1. Существует значение финансового рычага, которое нет смысла превышать, ведь чем выше рычаг, тем больше уровень риска (вероятность стоп-аута). Новички обычно думают примерно так: чем больше лотов я куплю (то есть, если перевести на мой язык, чем выше финансовый рычаг), тем выше доходность и выше риск. Но это не так. Есть оптимальный размер позиции (зависящий от оптимального рычага), превышать который нельзя, даже не потому что это слишком рискованно, а потому что при этом начинает снижаться доходность, то есть риск становится неоправданным. Например, при оптимальном финансовым рычаге 25 доходность составляет 12.5%, а риск -0.01*25*100% = 25%. Если поднять финансовый рычаг выше этого уровня, допустим, до 50, имеем доходность 0% (!) с риском -0.01*25*100% = 50%.
2. Любые значения финансового рычага в промежутке от 0 до 25 в принципе могут быть приемлемыми. Осторожного трейдера может не устраивать уровень риска связанный с оптимальным рычагом. Тогда он может выбрать меньший финансовый рычаг, например, 10, снизив таким образом риск до 10%.

Теперь после этого вводного примера обратимся к реальным торговым системам и трендам. Если не полениться и переставить доходности местами в моем примере: первый день -1%, второй день 2%, то можно наглядно убедиться, что оптимальный финансовый рычаг не зависит от порядка прибылей и убытков. Это справедливо и для серии сделок любой длины. Это дает интуитивный намек на то, что рычаг зависит лишь от обобщенных характеристик ряда доходностей. И это действительно так! Важнейшими такими характеристиками являются средняя доходность (дальше – просто доходность) и волатильность или, как говорят в теории вероятностей, математическое ожидание и стандартное отклонение. Что такое среднее, наверное, известно каждому. Стандартное отклонение тоже очень простая характеристика. Если не вдаваться в тонкости, его можно понимать как типичный средний разброс значений доходности. Например, стандартное отклонение в 1% (однопроцентная волатильность) на дневных графиках означает, что в среднем цена движется на 1% в день (независимо от направления – вверх или вниз). Забудем на время о какой-либо математике.

Давайте подумаем логически, от чего зависит оптимальный финансовый рычаг. Предположим, достоверно известно, что завтра цена на акцию вырастет, скажем, на 5%, или даже просто известно, что она вырастет. Как надо действовать, чтобы максимально нажиться на этой информации? Цена точно вырастет. Нет никакого риска. Значит, чем больше акций я куплю, тем больше я заработаю. Поэтому теоретически нужно скупать как можно больше акций. На практике это значит, что нужно открывать позицию с максимально возможным финансовым рычагом. Первый полюс – достоверное знание будущей доходности (максимальная определенность) – максимальный финансовый рычаг. Противоположный вариант. Я не имею никаких предположений, пойдет завтра цена вверх или вниз (матожидание прибыли нулевое). Ясно, что в этом случае лучше вообще не открывать никаких позиций, поскольку рано или поздно неизбежно разоришься. Это игра в рулетку. Второй полюс – ничего не известно о будущей доходности (максимальная неопределенность) – нулевой финансовый рычаг. Промежуточный вариант: с вероятностью столько-то процентов, цена вырастет на столько-то процентов. Ясно, что финансовый рычаг тем выше, чем выше вероятность роста и чем выше предполагаемая доходность. Это означает, что оптимальный рычаг зависит только от доходности и волатильности: чем выше доходность и чем ниже волатильность, тем выше финансовый рычаг.

Теперь настало время подключить математику и вывести точную формулу для оптимального рычага (впрочем, нет необходимости вникать во все эти уравнения, т.к. для расчета оптимального финансового рычага вы можете воспользоваться одним из наших калькуляторов - Оптимальный финансовый рычаг). Напомню, что мы ищем максимум у такой вот «конструкции»:

(1+R1) x (1+R2) x … x (1+Rn)

R – чистая доходность за n-ый день: (close - open)/close - 1. Это означает, что максимизируется среднее геометрическое (фактор роста) серии сделок. Чем выше среднее геометрическое, тем больше конечный капитал. В этой «конструкции» есть один неприятный момент: доходности умножаются. С умножением всегда много проблем, когда решаются какие-либо математические задачи. Нельзя ли как-то избавиться от умножения, заменив его сложением? Оказывается можно! Для этого нужно прологарифмировать доходности: ln(1+R). Если у вас есть под рукой калькулятор с логарифмами и экспонентной, то вы легко можете проверить, что, например, 2 x 3 = exp{ln(2)+ln(3)}, то есть в логарифмической шкале умножение превращается в сложение, а чтобы вернуться назад в исходную шкалу, надо взять экспоненту – exp{…}. Короче говоря, можно заменить исходную «конструкцию» на вот такую:

ln(1+R1)+ln(1+R2)+…+ln(1+Rn)

Работать с ней гораздо проще, поскольку теперь мы избавились от умножения доходностей. Это означает, что поиск оптимального рычага, при котором среднее геометрическое (фактор рост) достигает максимально возможных значений, сводится к максимизации логарифма конечного капитала. В работах Мертона было показано, что среднее геометрическое зависит от доходности и волатильности вот так:

то есть волатильность вносит коррекцию в фактор роста. Именно этим объясняется тот факт, что увеличение рычага сверх оптимального приводит к сокращению конечной доходности в серии сделок. Из приведенной формулы нетрудно вывести формулу для оптимального рычага:

то есть доходность нужно поделить на квадрат волатильности. Также легко вывести формулу, позволяющую определить, во сколько раз увеличится конечный капитал при торговле с оптимальным рычагом:

И вообще при любом рычаге имеем такую вот формулу для фактора роста:

См. также калькуляторы:
Оптимальный финансовый рычаг, соответствующее ему количество лотов и доходность

© q-trader

[обсудить на форуме]