Случайные величины, как и обычные цифры, могут складываться, вычитаться, перемножаться и т.д. На первый взгляд такие операции кажутся чем-то совершенно абстрактным. Однако для них есть важное применение на практике: проекция доходности и волатильности в будущее и формирование инвестиционного портфеля. Об этом мы и поговорим в данной лекции.

Инвестиционный интервал

В финансовой литературе часто выделяют понятия инвестиционный интервал и инвестиционный горизонт. Инвестиционный интервал – это хорошо знакомый каждому трейдеру таймфрейм. Кто-то работает на дневных барах, а кто-то на часовых. Это примеры разных инвестиционных интервалов. Инвестиционный интервал также можно понимать как мельчайший доступный на практике таймфрейм. Напр., дневные данные по большинству активов широко доступны, а часовые уже возможно придется и покупать. Целесообразность такой покупки будет определяться вашим инвестиционным горизонтом.

Инвестиционный горизонт

Горизонт инвестирования зависит от того, какую идею вы отрабатываете. Напр., кто-то может считать будущий год благоприятным для фондового рынка, купить акций и держать их до конца этого года, а кто-то хочет поймать краткосрочное движение рынка при выходе какой-либо новости. В таком случае первому, вероятно, вполне хватит для оценки рисков и дневных данных, а второму потребуется высокочастотная история – минутки или даже тики. Если мы хотим оценить вероятности исходов на инвестиционном горизонте, мы всегда должны обращаться к более мелкому таймфрейму. Вот этот таймфрейм и называется инвестиционным интервалом. Сам по себе он по определению неинтересен – он нужен только для сбора данных для оценки рисков на более длительном промежутке времени.

Сложение во времени

Собрав достаточно длинную историю, скажем, дневных данных можно оценить распределение доходности портфеля, допустим, через год. Как это возможно сделать? С точки зрения статистики годовая логдоходность является суммой дневных доходностей. Предположим, что в году 250 торговых дней. Это означает, что нам нужно сложить 250 случайных величин – 250 инвестиционных интервалов. В большинстве случаев эти величины являются независимыми или очень слабо зависимыми. Это существенно упрощает дело. Однако вывести, скажем, годовую плотность вероятности из дневных плотностей в общем случае все равно непросто. Технически это предполагает численное интегрирование, возможно даже многомерное. Именно по этой причине столь популярным в финансах остается знаменитое нормальное распределение. Если дневные логдоходности нормально распределены, то и их сумма будет иметь такую же форму распределения. К сожалению, на мелких таймфреймах доходности большинства активов существенно отклоняются от нормальности. Как же быть в этом случае?

Динамика моментов

Здесь на помощь приходят моменты случайной величины: доходность, волатильность, асимметрия и эксцесс. Этих характеристик вполне хватает для приближенного описания, и спроецировать их в будущее очень легко. Средняя логдоходность просто умножается на количество дней. Напр., при средней дневной логдоходности 0.25% годовая логдоходность будет 62.5%. Чтобы найти волатильность, ее следует умножать на корень из времени. Для того же примера, при дневной волатильности 2% годовая волатильность будет 2%*sqrt(250) ≈ 31.62%. Нетрудно заметить, что доходность и волатильность растут с увеличением инвестиционного горизонта, причем доходность по скорости обгоняет волатильность. Это согласуется со здравым смыслом, поскольку более долгосрочные вложения считаются более надежными: чем долгосрочнее вложение, тем больше шансов достигнуть точки безубыточности. Коэффициенты асимметрии и эксцесса, напротив, уменьшаются. Для того же примера, чтобы вычислить годовую асимметрию и эксцесс нужно дневные коэффициенты разделить на sqrt(250) и 250, соответственно. Это означает, что с ростом инвестиционного горизонта скошенность доходностей и их прыжки все больше и больше сглаживаются, стремясь к нулю, а распределение доходностей приближается к нормальному.

Формирование портфеля

Операция сложения случайных величин полезна не только для проекции рисков из мелких таймфремах в будущее. Она естественным образом используется в портфельном подходе. По сути, портфель представляет собой сумму случайных величин (финансовых активов). Однако здесь уже нельзя пренебречь зависимостями между ними. Поэтому нахождение точного закона распределения для портфеля еще более сложная задача. Если же ограничиться волатильностью как мерой риска, она значительно упрощается. При математическом описании портфеля, кроме сложения случайных величин, возникает еще операция умножения случайной величины на число. Это число – вес (доля) актива в портфеле или финансовый рычаг, если оно превышает единицу. Эта операция очень простая. Средняя доходность случайной величины, умноженной на какое-либо число, умножается на него же. Напр., если актив имеет ожидаемую доходность 50% годовых, а его доля в портфеле 40%, то доходность этой доли будет 20%. Общая доходность портфеля вычисляется как сумма доходностей по отдельным долям. Допустим, второй актив включается в портфель с долей 60% и его доходность 100% годовых. Значит, доходность доли 60%, а общая доходность портфеля 20% + 60% = 80%.

Волатильность: полезность матриц

С волатильностью портфеля дело обстоит несколько сложнее. Если активы независимы, ее можно вычислить относительно просто. Сначала квадраты волатильностей (дисперсии) умножаются на квадраты долей, а потом эти величины складываются. Напр., для того же портфеля пускай волатильность первого актива будет 50% годовых, а второго 80%. Тогда волатильность портфеля будет sqrt(0.5²*0.4² + 0.8²*0.6²) = sqrt(0.25*0.16+0.64*0.36) = sqrt(0.2704) = 0.52, или 52% годовых. Когда активы зависимы нужно принимать во внимание еще и корреляции между ними. Подробнее о корреляциях будет рассказано в другой лекции. Вообще работая с портфелями удобнее пользоваться матричными операциями. Напр., в матричной форме волатильность портфеля можно записать очень компактно: sqrt(w’*K*w), где w – вектор весов, K – ковариационная матрица, ‘ – знак транспонирования. Напр., в известной программе MATLAB можно просто ввести это выражение в командную строку, и через мгновение получить искомую волатильность портфеля.

Сложение в пространстве

Что можно сказать об асимметрии и эксцессе портфеля? Здесь работает то же закон, что и при суммировании доходностей во времени. Когда доходности суммируются в пространстве активов, имеется общая тенденция к снижению асимметрии и эксцесса. Иными словами распределение доходностей хорошо диверсифицированного портфеля, состоящего из множества активов из разных классов (акции, валюты, товары), будет довольно близко к нормальному. Это означает, что динамика стоимости портфеля будет довольно гладкой, без резких скачков и перекосов в положительную или отрицательную сторону, и чем диверсифицированней портфель, тем более выраженным это будет.

Выводы

В этой лекции мы познакомились с наиболее востребованными на практике операциями над случайными величинами: их сложением и умножением на число. Эти операции полезны при проекции риска с инвестиционного интервала на горизонт инвестирования и при формировании портфеля. Нахождение точной формы распределения портфеля на том или ином инвестиционном горизонте – сложная задача, но если ограничится приближенным моментным описанием, она значительно упрощается. Имеется общая тенденция для доходностей диверсифицированных портфелей на далеких инвестиционных горизонтах приближаться к нормальному закону распределения. Все риски такого портфеля можно полностью описать при помощи двух первых моментов: средней доходности и волатильности.

См. также:

Статистика для трейдера. Лекция №0. Введение

Статистика для трейдера. Лекция №1. Способы описания случайной величины

Статистика для трейдера. Лекция №2. Обобщенное описание случайной величины. Моменты. Доходность и волатильность. Тренд

© q-trader

[обсудить на форуме]