Главная Статьи Управление капиталом МаниМенеджмент. Парадоксы максимального роста
МаниМенеджмент. Парадоксы максимального роста
10.03.2011 13:00

Наверное, почти каждый трейдер хоть краем уха да слышал такие выражения как «критерий Келли», «оптимальное f» или даже «оптимальный рычаг» – понятие широко встречающееся на страницах нашего сайта. Все эти термины касаются управления капиталом по методу «сложного процента», когда при росте эквити размер позиции наращивается, а при падении – сокращается. Математически было показано, что при некотором постоянном размере рычага (фиксированной доле счета под риском – f), достигается максимально возможный рост капитала. Однако ж, «what’s the price», – вот в чем вопрос…


Критика лог-полезности

Возможность гигантских прибылей соблазняет многих трейдеров, особенно с маленькими депозитами. По этой причине «максимизация логарифмической полезности» (так на академическом языке звучит критерий Келли) весьма популярна среди спекулянтов и даже инвесторов. Как и следует ожидать, есть и противоположное мнение, критикующее данный подход, который стал широко известным, благодаря книгам Э. Торпа и Р. Винса. Напр., в статье «Об "оптимальном" критерии разорения», опубликованной в ноябрьском номере журнала F&O за 2009 весьма аргументировано вскрываются недостатки данного метода управления капиталом. В целом я разделяю мнение авторов о том, что такая система position sizing является очень и очень рискованной. Однако, каждому – свое. Здесь я хочу изложить подборку неожиданных фактов, касающихся максимального роста капитала при оптимальном рычаге/f, с минимальной их интерпретацией, а уж читатель сам рассудит, насколько рискован «максимальный рост».


Модельные предположения

Хотя на текущий момент в среде трейдеров более известно понятие рисковой доли – f, я предпочитаю оперировать термином «рычаг». В совокупности с классической моделью динамики акций в непрерывном времени (геометрическое броуновское движения) это позволяет существенно упростить вывод различных вероятностных характеристик «критерия Келли». Если же кому-то привычнее думать в терминах f, а не рычага, не расстраивайтесь – эти понятия тесно взаимосвязаны. Приводимые ниже факты актуальны для широкого класса финансовых инструментов и не зависят от конкретных значений их доходностей, волатильностей и т.п. Однако для большей конкретности представьте себе акцию с годовой доходностью (сверх рыночной процентной ставки) 25% и такой же волатильностью – 25%. При рычаге 1:4 достигается максимальный рост ≈65% годовых. При реалистичных предположениях о наихудшем дне «оптимальное f» для такой акции будет равно ≈20% от счета.


Вероятность просадке превысить половину капитала равна 50%

Этот красивый факт легко запоминается. Вообще в долгосрочке функция распределения для просадки при максимальном росте капитала имеет очень простую форму: Pd = 1 - d. Это просто прямая линия стартующая из точки 0;1 и заканчивающаяся в точке 1;0 (первая цифра – размер просадки, вторая – ее вероятность). Даже 90% просадка имеет вероятность 10%. Такой цифрой нельзя пренебрегать на практике.


Средний размер просадки равен половине капитала

Значит, трейдер, применяющий критерий Келли, совершенно не имеет права жаловаться, если в какой-то момент его депозит сократиться вдвое от начального размера. Средняя просадка на каком-либо доверительном уровне (CVaR) также имеет очень простую формулу: d = 1 - P/2. Напр., по первой формуле получаем, что в 5% случаев просадка превысит 95%. В случае, когда такое событие произойдет, средний размер превышения по второй формуле составит: 1 - 0.05/2 = 1 - 0.025 = 0.975 (97.5%).


Любой размер просадки от 0 до 100% одинаково вероятен

Если продифференцировать формулу вероятности просадки по переменной d, будет получена ее плотность вероятности, показывающая элемент вероятности того, что просадка примет какое-либо конкретное значение, напр., ровно 25% или 50%. В общем случае формула получается довольно громоздкая, но в долгосрочной перспективе плотность просадки при максимальном росте имеет простейшую форму – она равномерно распределена на интервале от 0 до 100%. Это означает, что любая просадка одинаково возможна, а значит, разорение/margin call – только вопрос времени!


Максимальный рост будет достигнут только в половине случаев

Максимальный рост, доступ к которому дает оптимальный рычаг, достижим только в половине случаев. Это связано с высокой волатильностью эквити, возникающей при таком методе управления капиталом. В 50% случаев будет достигнута более скромная процентная ставка роста, которой можно добиться и при более консервативной торговле, напр., с половинным размером рычага и т.п. Подробнее об этом можно почитать в статье «В погоне за ростом. Цели должны быть реальными».


Оптимальный рычаг сам по себе еще не гарантирует большой скорости роста

Многие трейдеры думают примерно так: критерий Келли весьма рискованный метод, но зато, если повезет, и прибыль будет астрономическая. Это не так. Эффективность критерия будет разной для разных торговых систем. Большой рост достижим только при хорошем качестве системы. Существует огромное количество показателей эффективности торговой системы, но в данном случае первостепенное значение имеет коэффициент Шарпа: доходность/волатильность. Потенциал максимального роста при оптимальном рычаге/f можно быстренько оценить по формуле: exp(½Q2), где Q – отношение Шарпа. При низких значениях Q (<0.2) знак экспоненты можно даже опустить, тогда остается просто ½Q2.


Максимальный рост не обязательно предполагает огромный финансовый рычаг

Оптимальный размер рычага сильнее всего зависит от типичного масштаба колебаний актива – его волатильности. При очень высокой волатильности возможны ситуации, когда максимальный рост достигается при единичном рычаге, или даже при 50% доле рискового актива (остальные деньги вкладываются в высоконадежные облигации). В общем случае имеет значение коэффициент Шарпа доходность/волатильность. Оптимальный рычаг можно выразить через этот коэффициент следующим образом: ℓ = Q/σ2. Отсюда видно, что когда отношение Шарпа – Q мало, а волатильность – σ велика, оптимальный рычаг также принимает низкие значения. Напр., при Q = 0.5 и σ = 0.5 он равен единице.


Почему так?

Как видно, максимальный рост характеризуется рядом запоминающихся цифр и довольно необычных фактов. В чем причина этого? Это связано с его предельным, маргинальным положением в спектре возможных значений рычагов или f. Максимальный рост, возникающий при оптимальном финансовом рычаге, является точкой симметрии между прибылями и убытками. Это тоже неожиданный факт. Торговля с постоянным реинвестированием капитала симметрична не относительно бокового тренда, как может показаться на первый взгляд, а относительно максимального роста. Поэтому разорение становится неизбежным даже не при боковике, а гораздо раньше – уже при максимальном росте. Особенно показателен в этом смысле третий по счету «парадокс» о плотности вероятности просадки. Ниже приводится график этой плотности в зависимости от горизонта инвестирования.


Плотность вероятности просадки


Как видно, даже при относительно небольших сроках торговли – около 5 лет, вероятность больших просадок при максимальном росте очень неохотно убывает и в пределе долгой торговли стремится к равномерному распределению (черная жирная линия). Для сравнения приведена предельная плотность просадки при половинном рычаге/f (зеленая линия). Она, как и ожидается в норме для риск-метрики (интуитивно мы полагаем, что большие убытки должны быть менее вероятны, чем маленькие), убывает при росте просадки. Если же значение рычага превышает максимально оправданное, вероятность больших посадок (красная линия) становится даже выше, чем маленьких! При этом система формально будет иметь положительное среднее геометрическое (рост), однако, по сути, будет разорительной!


Альтернативы

Торговля «по методу Келли» действительно может приносить фантастическую доходность, однако цена, которую за это придется заплатить, многим, скорее всего, покажется слишком высокой. В самом оптимистичном случае просадку можно оценить в 50% от первоначального капитала. Если же торговать очень долго (примерно от 5 лет), почти наверно будет достигнута еще большая просадка, скажем, 90% и выше, что фактически будет означать разорение трейдера. К этому следует еще добавить, что истинные будущие значения параметров торговой системы, от которых зависит размер оптимального рычага, нам неизвестны. Мы можем строить только гипотезы о том, какую доходность и волатильность продемонстрирует наше эквити в будущем. Значит, велик риск, как говорит Винс, «оказаться по правую сторону от оптимального f». В этом случае последствия будут еще более плачевными. Все это, однако, не означает, что торговлю с реинвестированием следует «заклеймить позором». При хорошем отношении Шарпа торговая система будет давать нормальную доходность с приемлемой просадкой даже при половинном рычаге, а то и ниже. Кроме того, есть еще вариант страхования капитала, когда ведется торговля с оптимальным рычагом, но не на весь капитал, а, допустим, на его половину. Какая же из этих альтернатив лучше – тема для отдельной беседы.



© q-trader

[обсудить на форуме]


 

Комментарии  

 
0 # Ярослав 17.11.2014 13:51
Ооочень полезные статьи по ММ. Наверно даже самые лучшие! Спасибо за материал. Читаю и впитываю все
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 
 
0 # q-trader 18.11.2014 14:22
Спасибо за отзыв. Буду рад ответить на вопросы, если они возникнут.
Ответить | Ответить с цитатой | Цитировать
 

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить



© 2010–2012. Все права защищены.
Копирование материалов, размещенных на сайте, разрешается только с рабочей ссылкой на источник.



| О проекте |  Правовая информация |
|  Напишите нам |  Карта сайта |



  

 Новости
главные новости экономики и финансовых рынков: события, мнения, прогнозы.

 Статьи
материалы по теханализу, фундаментальному анализу, управлению капиталом (манименеджмент) и др.

 Рынки
фондовый, валютный, товарный рынки: исторические обзоры, динамика, доходность, корреляции.

 Калькуляторы
xls-калькуляторы для оптимизации размера и структуры торговой позиции; опционные калькуляторы.

 Софт
торговые терминалы, программы для теханализа, оптимизации систем и др.: статьи, обзоры, видеоуроки.

 Архив котировок
индексы, валюты, сырье: многолетние истории котировок в форматах .xls и .txt.

 Индикаторы
ºSiX – индикатор настроения рынка на основе расчета соотношения количества опционных контрактов put и call.

 Библиотека
собрание книг, которые рекомендуется прочесть каждому трейдеру в первую очередь.

 Словарь
толкование основных экономических, финансовых терминов, трейдерский сленг.

 Форум
обсуждение материалов сайта и любых вопросов трейдинга и инвестирования.